Una secuencia de números reales $a_1,a_2,\ldots$ satisface la relación $$a_n=-\max_{i+j=n}(a_i+a_j)\qquad\text{para todos los}\quad n>2017.$$ Pruebe que la secuencia está acotada, es decir, existe una constante $M$ tal que $|a_n|\leq M$ para todos los enteros positivos $n$ .

Sea $S$ un conjunto finito, y sea $\mathcal{A}$ el conjunto de todas las funciones de $S$ a $S$ . Sea $f$ un elemento de $\mathcal{A}$ , y sea $T=f(S)$ la imagen de $S$ bajo $f$ . Suponga que $f\circ g\circ f\ne g\circ f\circ g$ para cada $g$ en $\mathcal{A}$ con $g\ne f$ . Muestre que $f(T)=T$ .

Sea $q$ un número real. Gugu tiene una servilleta con diez números reales distintos escritos en ella, y escribe las siguientes tres líneas de números reales en la pizarra:\nEn la primera línea, Gugu escribe cada número de la forma $a-b$ , donde $a$ y $b$ son dos números (no necesariamente distintos) en su servilleta.\nEn la segunda línea, Gugu escribe cada número de la forma $qab$ , donde $a$ y $b$ son dos números (no necesariamente distintos) de la primera línea.\nEn la tercera línea, Gugu escribe cada número de la forma $a^2+b^2-c^2-d^2$ , donde $a, b, c, d$ son cuatro números (no necesariamente distintos) de la primera línea.\nDetermine todos los valores de $q$ tales que, independientemente de los números en la servilleta de Gugu, cada número en la segunda línea es también un número en la tercera línea.

Demuestra que para cada entero $S\ge100$ existe un entero $P$ para el cual la siguiente historia podría ser verdadera: El matemático le pregunta al dueño de la tienda: ``¿Cuánto cuestan la mesa, el armario y la estantería?'' El dueño de la tienda responde: ``Cada artículo cuesta una cantidad entera positiva de Euros. La mesa es más cara que el armario, y el armario es más caro que la estantería. La suma de los tres precios es $S$ y su producto es $P$ . '' El matemático piensa y se queja: ``¡Esta no es suficiente información para determinar los tres precios!''

Sean $a_1,a_2,\ldots a_n,k$ , y $M$ enteros positivos tales que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{y}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$ Si $M>1$ , pruebe que el polinomio $$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ no tiene raíces positivas.

En el triángulo $ABC$ sean $A'$ , $B'$ , $C'$ respectivamente los puntos medios de los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ . Además, sean $L$ , $M$ , $N$ las proyecciones del ortocentro sobre los tres lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , y sea $k$ el círculo de los nueve puntos. Las líneas $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ intersecan a $k$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ . Las líneas tangentes en $k$ en $D$ , $E$ , $F$ intersecan las líneas $MN$ , $LN$ y $LM$ en los puntos $P$ , $Q$ , $R$ . Demuestra que $P$ , $Q$ y $R$ son colineales.

Considera sucesiones de enteros crecientes con elementos de $1,\ldots,10^6$ . Tal sucesión es Adriática si su primer elemento es igual a 1 y si cada elemento es al menos dos veces el elemento precedente. Una sucesión es Tirrena si su elemento final es igual a $10^6$ y si cada elemento es estrictamente mayor que la suma de todos los elementos precedentes. Decide si el número de sucesiones Adriáticas es menor que, igual a, o mayor que el número de sucesiones Tirrenas.

Sean $a_1,\ldots,a_n$ y $b_1\ldots,b_n$ $2n$ números reales. Demuestra que existe un entero $k$ con $1\le k\le n$ tal que $ \sum_{i=1}^n|a_i-a_k| ~~\le~~ \sum_{i=1}^n|b_i-a_k|.$

Determinar los polinomios P de dos variables de modo que: a.) para cualquier número real $t,x,y$ tenemos $P(tx,ty) = t^n P(x,y)$ donde $n$ es un entero positivo, el mismo para todos $t,x,y;$ b.) para cualquier número real $a,b,c$ tenemos $P(a + b,c) + P(b + c,a) + P(c + a,b) = 0;$ c.) $P(1,0) =1.$

Sea $f(x)$ una función continua definida en el intervalo cerrado $0 \leq x \leq 1$ . Sea $G(f)$ denota el gráfico de $f(x): G(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 | 0 \leq$ $ x \leq 1, y = f(x) \}$ . Sea $G_a(f)$ denota el gráfico de la función trasladada $f(x - a)$ (trasladada una distancia $a$ ) , definida por $G_a(f) = \{(x, y) \in \mathbb R^2 | a \leq x \leq a + 1, y = f(x - a) \}$ . ¿Es posible encontrar para cada $a, \ 0 < a < 1$ , una función continua $f(x)$ , definida en $0 \leq x \leq 1$ , tal que $f(0) = f(1) = 0$ y $G(f)$ y $G_a(f)$ son conjuntos de puntos disjuntos ?