En el plano de un triángulo $ABC,$ en su exterior $,$ dibujamos los triángulos $ABR, BCP, CAQ$ de modo que $\angle PBC = \angle CAQ = 45^{\circ}$ , $\angle BCP = \angle QCA = 30^{\circ}$ , $\angle ABR = \angle RAB = 15^{\circ}$ . Demostrar que a.) $\angle QRP = 90\,^{\circ},$ y b.) $QR = RP.$

Demostrar que de $x + y = 1 \ (x, y \in \mathbb R)$ se sigue que \[x^{m+1} \sum_{j=0}^n \binom{m+j}{j} y^j + y^{n+1} \sum_{i=0}^m \binom{n+i}{i} x^i = 1 \qquad (m, n = 0, 1, 2, \ldots ).\]

Cuando $4444^{4444}$ se escribe en notación decimal, la suma de sus dígitos es $A$. Sea $B$ la suma de los dígitos de $A$. Encuentra la suma de los dígitos de $B$. ($A$ y $B$ se escriben en notación decimal.)

¿Se pueden dibujar en un círculo de radio $1$ un número de $1975$ puntos distintos, de modo que la distancia (medida en la cuerda) entre dos puntos cualesquiera (de los puntos considerados) sea un número racional?

Sea $x_0 = 5$ y $x_{n+1} = x_n + \frac{1}{x_n} \ (n = 0, 1, 2, \ldots )$ . Pruebe que \[45 < x_{1000} < 45. 1.\]

Sean $A_0,A_1, \ldots , A_n$ puntos en un plano tales que (i) $A_0A_1 \leq \frac{1}{ 2} A_1A_2 \leq \cdots \leq \frac{1}{2^{n-1} } A_{n-1}A_n$ y (ii) $0 < \measuredangle A_0A_1A_2 < \measuredangle A_1A_2A_3 < \cdots < \measuredangle A_{n-2}A_{n-1}A_n < 180^\circ,$ donde todos estos ángulos tienen la misma orientación. Pruebe que los segmentos $A_kA_{k+1},A_mA_{m+1}$ no se intersectan para cada $k$ y $n$ tales que $0 \leq k \leq m - 2 < n- 2.$

Considere en el primer cuadrante del círculo trigonométrico los arcos $AM_1 = x_1,AM_2 = x_2,AM_3 = x_3, \ldots , AM_v = x_v$ , tal que $x_1 < x_2 < x_3 < \cdots < x_v$ . Pruebe que \[\sum_{i=0}^{v-1} \sin 2x_i - \sum_{i=0}^{v-1} \sin (x_i- x_{i+1}) < \frac{\pi}{2} + \sum_{i=0}^{v-1} \sin (x_i + x_{i+1})\]

Sean $a_{1}, \ldots, a_{n}$ una secuencia infinita de enteros estrictamente positivos, tal que $a_{k} < a_{k+1}$ para cualquier $k.$ Pruebe que existe una infinidad de términos $a_{m},$ los cuales se pueden escribir como $a_m = x \cdot a_p + y \cdot a_q$ con $x,y$ enteros estrictamente positivos y $p \neq q.$

Un zorro se encuentra en el centro del campo que tiene la forma de un triángulo equilátero, y un conejo se encuentra en uno de sus vértices. El zorro puede moverse a través de todo el campo, mientras que el conejo sólo puede moverse a lo largo de la frontera del campo. Las velocidades máximas del zorro y el conejo son iguales a $u$ y $v$, respectivamente. Demuestra que: (a) Si $2u>v$, el zorro puede atrapar al conejo, sin importar cómo se mueva el conejo. (b) Si $2u\le v$, el conejo siempre puede huir del zorro.

Hay $n$ puntos en una hoja de papel plana, dos cualesquiera de ellos a una distancia de al menos $2$ entre sí. Un alumno distraído derrama tinta sobre una parte del papel de tal manera que el área total de la parte dañada es igual a $\frac 32$. Demuestra que existen dos vectores de igual longitud menor que $1$ y con su suma teniendo una dirección dada, tales que después de una traslación por cualquiera de estos dos vectores ningún punto del conjunto dado permanece en el área dañada.