Sean $m$ y $n$ números naturales con $m>n$. Demuestra que \[2(m-n)^2(m^2-n^2+1)\ge 2m^2-2mn+1\]

Determina una ecuación de tercer grado con coeficientes integrales que tenga raíces $\sin \frac{\pi}{14}, \sin \frac{5 \pi}{14}$ y $\sin \frac{-3 \pi}{14}.$

Se dan $n$ puntos de masa de igual masa en el espacio. Definimos una secuencia de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ de la siguiente manera: $O_1$ es un punto arbitrario (dentro de la distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestra que a partir de algún $m$, todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

Dados dos puntos $A,B$ fuera de un plano dado $P,$ encuentra las posiciones de los puntos $M$ en el plano $P$ para los cuales la razón $\frac{MA}{MB}$ toma un mínimo o un máximo.

Fuera de un triángulo arbitrario $ABC$, se construyen triángulos $ADB$ y $BCE$ tales que $\angle ADB=\angle BEC=90^{\circ}$ y $\angle DAB=\angle EBC=30^{\circ}$. En el segmento $AC$ se elige el punto $F$ con $AF=3FC$. Demuestra que $\angle DFE=90^{\circ}$ y $\angle FDE=30^{\circ}$.

La suma de los cuadrados de cinco números reales $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ es igual a $1$. Demuestra que el menor de los números $(a_i - a_j)^2$, donde $i, j = 1, 2, 3, 4, 5$ y $i \neq j$, no excede $\frac{1}{10}$.

Se nos dan $n$ puntos de masa de igual masa en el espacio. Definimos una secuencia de puntos $O_1,O_2,O_3,\ldots $ como sigue: $O_1$ es un punto arbitrario (dentro de la distancia unitaria de al menos uno de los $n$ puntos); $O_2$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_1$ ; $O_3$ es el centro de gravedad de todos los $n$ puntos dados que están dentro de la esfera unitaria centrada en $O_2$ ; etc. Demuestre que a partir de algún $m$ , todos los puntos $O_m,O_{m+1},O_{m+2},\ldots$ coinciden.

Se da una matriz de ceros y unos de $(n^2+n+1) \times (n^2+n+1)$. Si no hay cuatro unos que sean vértices de un rectángulo, demuestre que el número de unos no supera $(n + 1)(n^2 + n + 1).$

En un cierto idioma, las palabras se forman usando un alfabeto de tres letras. Algunas palabras de dos o más letras no están permitidas, y dos palabras distintas cualesquiera de este tipo tienen longitudes diferentes. Demuestre que se puede formar una palabra de longitud arbitraria que no contenga ninguna palabra no permitida.

A través del circuncentro $O$ de un triángulo acutángulo arbitrario, las cuerdas $A_1A_2,B_1B_2, C_1C_2$ se dibujan paralelas a los lados $BC,CA,AB$ del triángulo respectivamente. Si $R$ es el radio de la circunferencia circunscrita, demuestre que \[A_1O \cdot OA_2 + B_1O \cdot OB_2 + C_1O \cdot OC_2 = R^2.\]