Tres jugadores $A,B$ y $C$ juegan un juego con tres cartas y en cada una de estas $3$ cartas está escrito un entero positivo, todos los $3$ números son diferentes. Un juego consiste en barajar las cartas, darle a cada jugador una carta y a cada jugador se le atribuye un número de puntos igual al número escrito en la carta y luego devuelven las cartas. Después de un número $(\geq 2)$ de juegos descubrimos que A tiene $20$ puntos, $B$ tiene $10$ puntos y $C$ tiene $9$ puntos. También sabemos que en el último juego B tenía la carta con el número más grande. ¿Quién tenía en el primer juego la carta con el segundo valor (esto significa la carta del medio con respecto a su valor)?

Sea $n$ un entero positivo, $n \geq 2$ , y considere la ecuación polinómica\n\[x^n - x^{n-2} - x + 2 = 0.\]\nPara cada $n,$ determine todos los números complejos $x$ que satisfacen la ecuación y tienen módulo $|x| = 1.$

Los puntos $S(i, j)$ con coordenadas cartesianas enteras $0 < i \leq n, 0 < j \leq m, m \leq n$ , forman una red. Encuentre el número de:\n(a) rectángulos con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(b) cuadrados con vértices en la red y lados paralelos a los ejes de coordenadas;\n(c) cuadrados en total, con vértices en la red.

Sean $a, b$ y $c$ los tres lados de una mesa de billar con forma de triángulo equilátero. Se coloca una bola en el punto medio del lado $a$ y luego se impulsa hacia el lado $b$ con una dirección definida por el ángulo $\theta$ . ¿Para qué valores de $\theta$ la bola golpeará los lados $b, c, a$ en ese orden?

Considere los coeficientes binomiales $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\ (k=1,2,\ldots n-1)$ . Determine todos los enteros positivos $n$ para los cuales $\binom{n}{1},\binom{n}{2},\ldots ,\binom{n}{n-1}$ son todos números pares.

Si $p$ y $q$ son números primos distintos, entonces existen enteros $x_0$ e $y_0$ tales que $1 = px_0 + qy_0.$ Determine el valor máximo de $b - a$ , donde $a$ y $b$ son enteros positivos con la siguiente propiedad: Si $a \leq t \leq b$ , y $t$ es un entero, entonces existen enteros $x$ e $y$ con $0 \leq x \leq q - 1$ y $0 \leq y \leq p - 1$ tales que $t = px + qy.$

Considere diagramas infinitos\n[asy]\nimport graph; size(90); real lsf = 0.5; pen dp = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dp); pen ds = black; \nlabel('$n_{00} \n_{01} \n_{02} \ldots$', (1.14,1.38), SE*lsf); label('$n_{10} \n_{11} \n_{12} \ldots$', (1.2,1.8), SE*lsf); label('$n_{20} \n_{21} \n_{22} \ldots$', (1.2,2.2), SE*lsf); label('$\vdots \quad \vdots \qquad \vdots $', (1.32,2.72), SE*lsf);\ndraw((1,1)--(3,1)); draw((1,1)--(1.02,2.62)); clip((-4.3,-10.94)--(-4.3,6.3)--(16.18,6.3)--(16.18,-10.94)--cycle);\n[/asy]\ndonde todos menos un número finito de los enteros $n_{ij} , i = 0, 1, 2, \ldots, j = 0, 1, 2, \ldots ,$ son iguales a $0$ . Tres elementos de un diagrama se llaman adyacentes si existen enteros $i$ y $j$ con $i \geq 0$ y $j \geq 0$ tales que los tres elementos son (i) $n_{ij}, n_{i,j+1}, n_{i,j+2},$ o (ii) $n_{ij}, n_{i+1,j}, n_{i+2,j} ,$ o (iii) $n_{i+2,j}, n_{i+1,j+1}, n_{i,j+2}.$ Una operación elemental en un diagrama es una operación por la cual tres elementos adyacentes $n_{ij}$ se cambian a $n_{ij}'$ de tal manera que $|n_{ij}-n_{ij}'|=1.$ Dos diagramas se llaman equivalentes si uno de ellos se puede cambiar en el otro por una secuencia finita de operaciones elementales. ¿Cuántos diagramas no equivalentes existen?

Sea a un número real tal que $0 < a < 1$ , y sea $n$ un entero positivo. Defina la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots, a_n$ recursivamente por\n\[a_0 = a, \quad a_{k+1} = a_k +\frac 1n a_k^2 \quad \text{ para } k = 0, 1, \ldots, n - 1.\]\nDemuestre que existe un número real $A$ , que depende de $a$ pero es independiente de $n$ , tal que\n\[0 < n(A - a_n) < A^3.\]

Sean $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ $n$ números reales tales que $0<a\le a_k\le b$ para $k=1,2,\ldots ,n$ . Si $m_1=\frac{1}{n}(a_1+a_2+\cdots+a_n)$ y $m_2=\frac{1}{n}(a_1^2+a_2^2+\cdots + a_n^2)$ , demuestre que $m_2\le\frac{(a+b)^2}{4ab}m_1^2$ y encuentre una condición necesaria y suficiente para la igualdad.

Sea $y^{\alpha}=\sum_{i=1}^n x_i^{\alpha}$ donde $\alpha \neq 0, y > 0, x_i > 0$ son números reales, y sea $\lambda \neq \alpha$ un número real. Demuestre que $y^{\lambda} > \sum_{i=1}^n x_i^{\lambda}$ si $\alpha (\lambda - \alpha) > 0,$ y $y^{\lambda} < \sum_{i=1}^n x_i^{\lambda}$ si $\alpha (\lambda - \alpha) < 0.$