Demuestre que para cualquier n natural, el número \[ \sum \limits_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{2k+1} 2^{3k} \] no se puede dividir por $5$ .

Sean $A,B,C,D$ puntos en el espacio. Si para cada punto $M$ en el segmento $AB$ la suma \[S_{AMC}+S_{CMD}+S_{DMB}\] Es constante, demuestre que los puntos $A,B,C,D$ se encuentran en el mismo plano. Nota. $S_X$ denota el área del triángulo $X.$

Sea $M$ un conjunto finito y $P=\{ M_1,M_2,\ldots ,M_l\}$ una partición de $M$ (es decir, $\bigcup_{i=1}^k M_i, M_i\not=\emptyset, M_i\cap M_j =\emptyset$ para todo $i,j\in\{1,2, \ldots ,k\} ,i\not= j)$ . Definimos la siguiente operación elemental en $P$ : Elegir $i,j\in\{1,2,\ldots ,k\}$ , tal que $i=j$ y $M_i$ tiene a elementos y $M_j$ tiene $b$ elementos tal que $a\ge b$ . Luego tome $b$ elementos de $M_i$ y colóquelos en $M_j$ , es decir, $M_j$ se convierte en la unión de sí mismo y un subconjunto de $b$ elementos de $M_i$ , mientras que el mismo subconjunto se resta de $M_i$ (si $a=b$ , $M_i$ se elimina así de la partición). Sea un conjunto finito $M$ dado. Demuestre que la propiedad 'para cada partición $P$ de $M$ existe una secuencia $P=P_1,P_2,\ldots ,P_r$ tal que $P_{i+1}$ se obtiene de $P_i$ mediante una operación elemental y $P_r=\{M\}$ ' es equivalente a 'el número de elementos de $M$ es una potencia de $2$ .'

Sean $C_1$ y $C_2$ círculos en el mismo plano, $P_1$ y $P_2$ puntos arbitrarios en $C_1$ y $C_2$ respectivamente, y $Q$ el punto medio del segmento $P_1P_2.$ Encuentre el lugar geométrico de los puntos $Q$ cuando $P_1$ y $P_2$ recorren todas las posiciones posibles. Versión alternativa . Sean $C_1, C_2, C_3$ tres círculos en el mismo plano. Encuentre el lugar geométrico del centroide del triángulo $P_1P_2P_3$ cuando $P_1, P_2,$ y $P_3$ recorren todas las posiciones posibles en $C_1, C_2$ , y $C_3$ respectivamente.

Sea $g(k)$ el número de particiones de un conjunto $M$ de $k$ elementos, es decir, el número de familias $\{ A_1,A_2,\ldots ,A_s\}$ de subconjuntos no vacíos de $M$ tales que $A_i\cap A_j=\emptyset$ para $i\not= j$ y $\bigcup_{i=1}^n A_i=M$ . Demuestre que, para todo $n$ , \[n^n\le g(2n)\le (2n)^{2n}\]

Sea $f : \mathbb R \to \mathbb R$ de la forma $f(x) = x + \epsilon \sin x,$ donde $0 < |\epsilon| \leq 1.$ Defina para cualquier $x \in \mathbb R,$ \[x_n=\underbrace{f \ o \ \ldots \ o \ f}_{n \text{ veces}} (x).\] Demuestre que para cada $x \in \mathbb R$ existe un entero $k$ tal que $\lim_{n\to \infty } x_n = k\pi.$

Sean $a_i, b_i$ enteros positivos coprimos para $i = 1, 2, \ldots , k$ , y $m$ el mínimo común múltiplo de $b_1, \ldots , b_k$ . Demuestre que el máximo común divisor de $a_1 \frac{m}{b_1} , \ldots, a_k \frac{m}{b_k}$ es igual al máximo común divisor de $a_1, \ldots , a_k.$

Demuestre que los cuadrados con lados $\frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots$ pueden colocarse en el cuadrado con lado $\frac{3}{2} $ de tal manera que no haya dos de ellos que tengan algún punto interior en común.

Las variables $a,b,c,d,$ recorren, independientemente entre sí, el conjunto de valores reales positivos. ¿Cuáles son los valores que toma la expresión \[ S= \frac{a}{a+b+d} + \frac{b}{a+b+c} + \frac{c}{b+c+d} + \frac{d}{a+c+d} \] ?

Sea $M$ un subconjunto no vacío de $\mathbb Z^+$ tal que para cada elemento $x$ en $M,$ los números $4x$ y $\lfloor \sqrt x \rfloor$ también pertenecen a $M.$ Pruebe que $M = \mathbb Z^+.$