¿Para qué números naturales $n$ existen $n$ números naturales $a_i\ (1\le i\le n)$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i^{-2}=1$ ?

Demuestra que existe, para $n \geq 4$, un conjunto $S$ de $3n$ círculos iguales en el espacio que se puede dividir en tres subconjuntos $s_5, s_4$ , y $s_3$, cada uno conteniendo $n$ círculos, tales que cada círculo en $s_r$ toca exactamente a $r$ círculos en $S.$

Sean $A_r,B_r, C_r$ puntos en la circunferencia de un círculo dado $S$. Del triángulo $A_rB_rC_r$, llamado $\Delta_r$, el triángulo $\Delta_{r+1}$ se obtiene construyendo los puntos $A_{r+1},B_{r+1}, C_{r+1} $ o n $S$ tales que $A_{r+1}A_r$ es paralelo a $B_rC_r$, $B_{r+1}B_r$ es paralelo a $C_rA_r$, y $C_{r+1}C_r$ es paralelo a $A_rB_r$. Cada ángulo de $\Delta_1$ es un número entero de grados y esos enteros no son múltiplos de $45$. Demuestra que al menos dos de los triángulos $\Delta_1,\Delta_2, \ldots ,\Delta_{15}$ son congruentes.

Demuestra que existe un conjunto $S$ de $15$ círculos distintos en la superficie de una esfera, todos con el mismo radio y tales que $5$ tocan exactamente a otros $5$, $5$ tocan exactamente a otros $4$, y $5$ tocan exactamente a otros $3$.

Un paquete de $2n$ cartas contiene $n$ pares diferentes de cartas. Cada par consta de dos cartas idénticas, cualquiera de las cuales se denomina gemela de la otra. Se juega un juego entre dos jugadores $A$ y $B$. Una tercera persona llamada el crupier baraja el paquete y reparte las cartas una por una boca arriba sobre la mesa. Uno de los jugadores, llamado el receptor, toma la carta repartida, siempre que no tenga ya su gemela. Si ya tiene la gemela, su oponente toma la carta repartida y se convierte en el receptor. $A$ es inicialmente el receptor y toma la primera carta repartida. El jugador que primero obtiene un conjunto completo de $n$ cartas diferentes gana el juego. ¿Qué fracción de todos los arreglos posibles del paquete llevan a que $A$ gane? Demuestra la corrección de tu respuesta.

Sea $ABC$ un triángulo. Demostrar que existe un punto $D$ en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ , tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$ , si y sólo si el triángulo $ABC$ satisface la desigualdad $\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}$ .

Sean $n$ y $k$ números naturales y $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales positivos que satisfacen $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ . Demostrar que $\dfrac {1} {a_1^{k}}+\dfrac {1} {a_2^{k}}+\cdots +\dfrac {1} {a_n^{k}} \ge n^{k+1}.$

Demostrar que $2^{147} - 1$ es divisible por $343.$

Se dan en el plano un círculo $K$ con radio $r$ , un punto $D$ en $K$ , y un ángulo convexo con vértice $S$ y rayos $a$ y $b$ . Construir un paralelogramo $ABCD$ tal que $A$ y $B$ se encuentren en $a$ y $b$ respectivamente, $SA+SB=r$ , y $C$ se encuentre en $K$ .

Dado una línea $p$ y un triángulo $\Delta$ en el plano, construir un triángulo equilátero uno de cuyos vértices se encuentra en la línea $p$ , mientras que los otros dos dividen a la mitad el perímetro de $\Delta.$