Se da un octágono regular $P$ cuyo incírculo $k$ tiene diámetro $1$ . Alrededor de $k$ se circunscribe un $16$ - gono regular, que también está inscrito en $P$ , cortando de $P$ ocho triángulos isósceles. Al octágono $P$ , se le agregan tres de estos triángulos de modo que exactamente dos de ellos sean adyacentes y no dos de ellos sean opuestos entre sí. Se dice que cada $11$ - gono así obtenido es $P'$ . Demostrar la siguiente afirmación: Dado un conjunto finito $M$ de puntos que se encuentran en $P$ tal que cada dos puntos de este conjunto tienen una distancia que no excede $1$ , uno de los $11$ - gonos $P'$ contiene a todo $M$ .

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $x_1,x_2 \ldots, x_n \ (n \geq 2)$ y parámetros $c_1,c_2, \ldots , c_n:$ \[2x_1 -x_2 = c_1;\] \[-x_1 +2x_2 -x_3 = c_2;\] \[-x_2 +2x_3 -x_4 = c_3;\] \[\cdots \qquad \cdots \qquad \cdots \qquad\] \[-x_{n-2} +2x_{n-1} -x_n = c_{n-1};\] \[-x_{n-1} +2x_n = c_n.\]

Sean $x, y, z$ números reales cada uno de los cuales tiene un valor absoluto diferente de $\frac{1}{\sqrt 3}$ tal que $x + y + z = xyz$ . Demostrar que \[\frac{3x - x^3}{1-3x^2} + \frac{3y - y^3}{1-3y^2} + \frac{3z -z^3}{1-3z^2} = \frac{3x - x^3}{1-3x^2} \cdot \frac{3y - y^3}{1-3y^2} \cdot \frac{3z - z^3}{1-3z^2}\]

Sea $p$ un número primo y $n$ un entero positivo. Demostrar que el producto \[{N=\frac{1}{p^{n^2}}} \prod_{i=1;2 \nmid i}^{2n-1} \biggl[ \left( (p-1)! \right) \binom{p^2 i}{pi}\biggr]\] Es un entero positivo que no es divisible por $p.$

Demostrar que el producto de dos números naturales con su suma no puede ser la tercera potencia de un número natural.

Se da un cono recto dentro de un paralelepípedo rectangular $B$ , con el vértice en uno de los vértices, digamos $T$ , del paralelepípedo, y la base tocando las tres caras opuestas a $T .$ Su eje se encuentra en la diagonal larga que pasa por $T.$ Si $V_1$ y $V_2$ son los volúmenes del cono y el paralelepípedo respectivamente, demostrar que \[V_1 \leq \frac{\sqrt 3 \pi V_2}{27}.\]

Sean $K_a,K_b,K_c$ con centros $O_a,O_b,O_c$ las circunferencias exinscritas de un triángulo $ABC$ , que tocan los interiores de los lados $BC,CA,AB$ en los puntos $T_a,T_b,T_c$ respectivamente. Demostrar que las rectas $O_aT_a,O_bT_b,O_cT_c$ son concurrentes en un punto $P$ para el cual $PO_a=PO_b=PO_c=2R$ se cumple, donde $R$ denota el circunradio de $ABC$ . También demostrar que el circuncentro $O$ de $ABC$ es el punto medio del segmento $PI$ , donde $I$ es el incentro de $ABC$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero arbitrario. Sean los cuadrados $ABB_1A_2, BCC_1B_2, CDD_1C_2, DAA_1D_2$ construidos en el exterior del cuadrilátero. Además, sean $AA_1PA_2$ y $CC_1QC_2$ paralelogramos. Para cualquier punto arbitrario $P$ en el interior de $ABCD$ , se construyen los paralelogramos $RASC$ y $RPTQ$. Demostrar que estos dos paralelogramos tienen dos vértices en común.

Sea ${u_n}$ la sucesión de Fibonacci, es decir, $u_0=0,u_1=1,u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$ para $n>1$ . Demostrar que existen infinitos números primos $p$ que dividen a $u_{p-1}$ .

Consideremos la división de un tablero de ajedrez de $8 \times 8$ en p rectángulos disjuntos que satisfacen las condiciones: a) cada rectángulo está formado por un número de cuadrados completos (no parciales) de los 64 y el número de cuadrados blancos es igual al número de cuadrados negros. b) los números $\ a_{1}, \ldots, a_{p}$ de cuadrados blancos de $p$ rectángulos satisfacen $a_1, , \ldots, a_p.$ Hallar el mayor valor de $p$ para el que existe tal división y entonces para ese valor de $p,$ todas las sucesiones $a_{1}, \ldots, a_{p}$ para las que podemos tener tal división.