En una línea recta $\ell$ hay cuatro puntos, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ en ese orden, tales que $AB=BC=CD$ . Se elige un punto $E$ fuera de la línea recta de modo que al dibujar los segmentos $EB$ y $EC$ , se forma un triángulo equilátero $EBC$ . Se dibujan los segmentos $EA$ y $ED$ , y se elige un punto $F$ de modo que al dibujar los segmentos $FA$ y $FE$ , se forma un triángulo equilátero $FAE$ fuera del triángulo $EAD$ . Finalmente, se dibujan las líneas $EB$ y $FA$ , que se intersecan en el punto $G$ . Si el área del triángulo $EBD$ es $10$ , calcular el área del triángulo $EFG$ .

Vero tenía un triángulo isósceles hecho de papel. Usando tijeras, lo dividió en tres triángulos más pequeños y los pintó de azul, rojo y verde. Habiendo hecho esto, observó que: $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo rojo se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo azul y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles, $\bullet$ con el triángulo rojo y el triángulo verde se puede formar un triángulo isósceles. Mostrar cómo era el triángulo de Vero y cómo podría haber hecho los cortes para que esta situación sea posible.

A Facundo y Luca les han regalado una torta que tiene la forma del cuadrilátero de la figura. Van a realizar dos cortes rectos en la torta, obteniendo así $4$ porciones con forma de cuadrilátero. Luego Facundo se quedará con dos porciones que no compartan ningún lado, las otras dos serán para Luca. Mostrar cómo pueden realizar los cortes de modo que ambos chicos se lleven la misma cantidad de torta. Justificar por qué cortando de esta manera se logra el objetivo.

En un bosque hay $5$ árboles $A, B, C, D, E$ que están en ese orden sobre una línea recta. En el punto medio de $AB$ hay una margarita, en el punto medio de $BC$ hay un rosal, en el punto medio de $CD$ hay un jazmín, y en el punto medio de $DE$ hay un clavel. La distancia entre $A$ y $E$ es $28$ m; la distancia entre la margarita y el clavel es $20$ m. Calcular la distancia entre el rosal y el jazmín.

Una hormiga despistada hace el siguiente recorrido: partiendo del punto $ A $ va $ 1$ cm al norte, luego $ 2$ cm al este, luego $ 3$ cm al sur, luego $ 4$ cm al oeste, inmediatamente $ 5$ cm al norte, continúa $ 6$ cm al este, y así sucesivamente, finalmente $ 41$ cm al norte y termina en el punto $ B $ . Calcular la distancia entre $ A $ y $ B $ (en línea recta).

Hay que dividir un papel cuadrado en tres partes, mediante dos cortes rectos, de modo que ubicando estas partes adecuadamente, sin huecos ni superposiciones, se forme un triángulo obtuso. Indicar cómo cortar el cuadrado y cómo armar el triángulo con las tres partes.

Sea $ABCDEFGHIJ$ un polígono regular de $10$ lados que tiene todos sus vértices en un círculo con centro $O$ y radio $5$ . Las diagonales $AD$ y $BE$ se intersecan en $P$ y las diagonales $AH$ y $BI$ se intersecan en $Q$ . Calcula la medida del segmento $PQ$ .

Sea $ABCD$ un rombo de lados $AB = BC = CD= DA = 13$ . En el lado $AB$ construir el rombo $BAFE$ fuera de $ABCD$ y tal que el lado $AF$ sea paralelo a la diagonal $BD$ de $ABCD$ . Si el área de $BAFE$ es igual a $65$ , calcule el área de $ABCD$ .

En un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ puntos en los lados $BC$ y $AC$ respectivamente. Los segmentos $AD$ y $BE$ se intersectan en $O$ , la línea media (paralela a $ AB$ ) intersecta a $DE$ en su punto medio, demuestre que el triángulo $ABO$ y el cuadrilátero $ODCE$ tienen la misma área.

En el cuadrilátero $ABCD$ , tenemos $\angle C$ es el triple de $\angle A$ , sea $P$ un punto en el lado $AB$ tal que $\angle DPA = 90º$ y sea $Q$ un punto en el segmento $DA$ donde $\angle BQA = 90º$ los segmentos $DP$ y $CQ$ se intersectan en $O$ tal que $BO = CO = DO$ , encontrar $\angle A$ y $\angle C$ .