Sea $M$ el conjunto de números reales de la forma $\frac{m+n}{\sqrt{m^2+n^2}}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos. Demuestre que para cada par $x \in M, y \in M$ con $x < y$ , existe un elemento $z \in M$ tal que $x < z < y.$

Sea $O$ un punto del espacio tridimensional y sean $l_1, l_2, l_3$ rectas mutuamente perpendiculares que pasan por $O$ . Sea $S$ la esfera con centro $O$ y radio $R$ , y para cada punto $M$ de $S$ , sea $S_M$ la esfera con centro $M$ y radio $R$ . Denotamos por $P_1, P_2, P_3$ la intersección de $S_M$ con las rectas $l_1, l_2, l_3$ , respectivamente, donde ponemos $P_i \neq O$ si $l_i$ se encuentra con $S_M$ en dos puntos distintos y $P_i = O$ en caso contrario ( $i = 1, 2, 3$ ) . ¿Cuál es el conjunto de centros de gravedad de los triángulos (posiblemente degenerados) $P_1P_2P_3$ cuando $M$ recorre los puntos de $S$ ?

Los triángulos rectángulos $ABC$ y $AB_1C_1$ son similares y tienen orientación opuesta. Los ángulos rectos están en $C$ y $C_1$ , y también tenemos $ \angle CAB = \angle C_1AB_1$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas $BC_1$ y $B_1C$ . Demuestre que si las rectas $AM$ y $CC_1$ existen, son perpendiculares.

Demuestre que si $n$ es un entero positivo tal que la ecuación \[ x^3-3xy^2+y^3=n \] tiene una solución en enteros $x,y$ , entonces tiene al menos tres soluciones de este tipo. Demuestre que la ecuación no tiene soluciones en enteros para $n=2891$ .

Demuestre que \[ \frac{1 - s^a}{1 - s} \leq (1 + s)^{a-1}\] se cumple para todo $1 \neq s > 0$ real y $0 < a \leq 1$ racional.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero plano convexo y sea $A_1$ el circuncentro de $\triangle BCD$ . Defina $B_1, C_1,D_1$ de manera correspondiente. (a) Pruebe que o bien todos los puntos $A_1,B_1, C_1,D_1$ coinciden en un punto, o bien son todos distintos. Asumiendo el último caso, demuestre que $A_1$ , C1 están en lados opuestos de la línea $B_1D_1$ , y similarmente , $ B_1,D_1$ están en lados opuestos de la línea $A_1C_1$ . (Esto establece la convexidad del cuadrilátero $A_1B_1C_1D_1$ . ) (b) Denotemos por $A_2$ el circuncentro de $B_1C_1D_1$ , y definamos $B_2, C_2,D_2$ de manera análoga. Demuestre que el cuadrilátero $A_2B_2C_2D_2$ es similar al cuadrilátero $ABCD.$

Un triángulo no isósceles $A_{1}A_{2}A_{3}$ tiene lados $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ con el lado $a_{i}$ opuesto al vértice $A_{i}$ . Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$ , y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca el lado $a_{i}$ . Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ en la bisectriz del ángulo interior del ángulo $A_{i}$ . Pruebe que las líneas $M_{1}S_{1}$ , $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

Se dan cuatro círculos distintos $C,C_1, C_2$ , C3 y una línea L en el plano tales que $C$ y $L$ son disjuntos y cada uno de los círculos $C_1, C_2, C_3$ toca a los otros dos, así como a $C$ y $L$ . Asumiendo que el radio de $C$ es $1$ , determina la distancia entre su centro y $L.$

(a) Encuentra la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentra la reordenación que minimiza $Q.$

Una caja contiene $p$ bolas blancas y $q$ bolas negras. Junto a la caja hay una pila de bolas negras. Se sacan dos bolas de la caja. Si tienen el mismo color, se coloca una bola negra de la pila en la caja. Si tienen diferentes colores, la bola blanca se vuelve a colocar en la caja. Este procedimiento se repite hasta que las dos últimas bolas se retiran de la caja y se coloca una última bola. ¿Cuál es la probabilidad de que esta última bola sea blanca?