Hay $10001$ estudiantes en una universidad. Algunos estudiantes se unen para formar varios clubes (un estudiante puede pertenecer a diferentes clubes). Algunos clubes se unen para formar varias sociedades (un club puede pertenecer a diferentes sociedades). Hay un total de $k$ sociedades. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: i.) Cada par de estudiantes están en exactamente un club. ii.) Para cada estudiante y cada sociedad, el estudiante está en exactamente un club de la sociedad. iii.) Cada club tiene un número impar de estudiantes. Además, un club con ${2m+1}$ estudiantes ( $m$ es un entero positivo) está en exactamente $m$ sociedades. Encuentra todos los valores posibles de $k$.

En una competición matemática, en la que se plantearon $6$ problemas a los participantes, cada dos de estos problemas fueron resueltos por más de $\frac 25$ de los concursantes. Además, ningún concursante resolvió los $6$ problemas. Demuestre que hay al menos $2$ concursantes que resolvieron exactamente $5$ problemas cada uno.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo fijo con $BC=DA$ y $BC$ no paralelo con $DA$ . Sean dos puntos variables $E$ y $F$ sobre los lados $BC$ y $DA$ , respectivamente y satisfacen $BE=DF$ . Las líneas $AC$ y $BD$ se encuentran en $P$ , las líneas $BD$ y $EF$ se encuentran en $Q$ , las líneas $EF$ y $AC$ se encuentran en $R$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de los triángulos $PQR$ , cuando $E$ y $F$ varían, tienen un punto en común distinto de $P$ .

Determine todos los enteros positivos relativamente primos con todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Sean $x,y,z$ tres números reales positivos tales que $xyz\geq 1$ . Demuestre que \[ \frac { x^5-x^2 }{x^5+y^2+z^2} + \frac {y^5-y^2}{x^2+y^5+z^2} + \frac {z^5-z^2}{x^2+y^2+z^5} \geq 0 . \]

La función $f(x,y)$ satisface: $f(0,y)=y+1, f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$ para todos los enteros no negativos $x,y$. Encuentra $f(4,1981)$.

Tres círculos de igual radio tienen un punto común $O$ y se encuentran dentro de un triángulo dado. Cada círculo toca un par de lados del triángulo. Demuestra que el incentro y el circuncentro del triángulo son colineales con el punto $O$.

a.) ¿Para qué $n>2$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos consecutivos tal que el número más grande del conjunto es un divisor del mínimo común múltiplo de los $n-1$ números restantes?\nb.) ¿Para qué $n>2$ existe exactamente un conjunto que tenga esta propiedad?

Determina el valor máximo de $m^2+n^2$, donde $m$ y $n$ son enteros en el rango $1,2,\ldots,1981$ satisfaciendo $(n^2-mn-m^2)^2=1$.

Toma $r$ tal que $1\le r\le n$, y considera todos los subconjuntos de $r$ elementos del conjunto $\{1,2,\ldots,n\}$. Cada subconjunto tiene un elemento más pequeño. Sea $F(n,r)$ la media aritmética de estos elementos más pequeños. Demuestra que: \[ F(n,r)={n+1\over r+1}. \]