Considera un punto variable $P$ dentro de un triángulo dado $ABC$. Sean $D$, $E$, $F$ los pies de las perpendiculares desde el punto $P$ a las líneas $BC$, $CA$, $AB$, respectivamente. Encuentra todos los puntos $P$ que minimizan la suma \[ {BC\over PD}+{CA\over PE}+{AB\over PF}. \]

Un baile con 2018 parejas tiene lugar en La Habana. Para el baile, 2018 puntos distintos etiquetados $0, 1,\ldots, 2017$ se marcan en una circunferencia y cada pareja se coloca en un punto diferente. Para $i\geq1$, sea $s_i=i\ (\textrm{mod}\ 2018)$ y $r_i=2i\ (\textrm{mod}\ 2018)$. El baile comienza en el minuto $0$. En el $i$ -ésimo minuto, la pareja en el punto $s_i$ (si la hay) se mueve al punto $r_i$, la pareja en el punto $r_i$ (si la hay) se retira, y el baile continúa con las parejas restantes. El baile termina después de $2018^2$ minutos. Determine cuántas parejas permanecen al final. Nota: Si $r_i=s_i$, la pareja en $s_i$ se queda allí y no se retira.

Sea $n$ un entero positivo, $1<n<2018$. Para cada $i=1, 2, \ldots ,n$ definimos el polinomio $S_i(x)=x^2-2018x+l_i$, donde $l_1, l_2, \ldots, l_n$ son enteros positivos distintos. Si el polinomio $S_1(x)+S_2(x)+\cdots+S_n(x)$ tiene al menos una raíz entera, demuestre que al menos uno de los $l_i$ es mayor o igual que $2018$.

Determine todas las ternas $(p, q, r)$ de enteros positivos, donde $p, q$ también son primos, tales que $\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2$.

Sean $x, y$ números reales tales que $x-y, x^2-y^2, x^3-y^3$ son todos números primos. Demuestre que $x-y=3$.

Sea $\Delta ABC$ un triángulo inscrito en la circunferencia $\omega$ de centro $O$. Sea $T$ el simétrico de $C$ con respecto a $O$ y $T'$ la reflexión de $T$ con respecto a la línea $AB$. La línea $BT'$ interseca a $\omega$ nuevamente en $R$. La perpendicular a $CT$ que pasa por $O$ interseca a la línea $AC$ en $L$. Sea $N$ la intersección de las líneas $TR$ y $AC$. Demuestre que $\overline{CN}=2\overline{AL}$.

Hay 2018 cartas numeradas del 1 al 2018. Los números de las cartas son visibles en todo momento. Tito y Pepe juegan un juego. Comenzando con Tito, se turnan para escoger cartas hasta que terminan. Luego, cada jugador suma los números de sus cartas y quien tenga una suma par gana. Determine qué jugador tiene una estrategia ganadora y descríbala.

Sin superponerse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no son necesariamente todas del mismo tamaño. [asy]\nunitsize(.85cm);\ndraw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1));\ndraw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed);\nlabel('\footnotesize $a$',(0.5,0),S);\nlabel('\footnotesize $a$',(0,0.5),W);\nlabel('\footnotesize $a$',(1,0.5),E);\nlabel('\footnotesize $a$',(0,1.5),E);\nlabel('\footnotesize $a$',(1,1.5),W);\nlabel('\footnotesize $a$',(-0.5,2),N);\nlabel('\footnotesize $a$',(0.5,2),N);\nlabel('\footnotesize $a$',(1.5,2),N);\n[/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentra el valor más pequeño de $\lambda$ tal que cada configuración de baldosas tiene un área total menor que $\lambda$ .

Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Considere $n$ progresiones aritméticas infinitas de enteros no negativos con la propiedad de que entre cada $k$ enteros no negativos consecutivos, al menos uno de los $k$ enteros pertenece a una de las $n$ progresiones aritméticas. Sean $d_1,d_2,\ldots,d_n$ las diferencias de las progresiones aritméticas, y sea $d=\min\{d_1,d_2,\ldots,d_n\}$ . En términos de $n$ y $k$ , ¿cuál es el valor máximo posible de $d$ ?

Dentro del ángulo recto $XAY$ , donde $A$ es el vértice, hay un semicírculo $\Gamma$ cuyo centro se encuentra en $AX$ y que es tangente a $AY$ en el punto $A$ . Describa una construcción con regla y compás para la tangente a $\Gamma$ de manera que el triángulo encerrado por la tangente y el ángulo $XAY$ tenga un área mínima.