Un tablero de ajedrez de $8\times 8$ debe ser cubierto (es decir, completamente cubierto sin superposición) con piezas de las siguientes formas: [asy]\nunitsize(.6cm);\ndraw(unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(1,0)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(2,0)*unitsquare,linewidth(1));\nlabel('\footnotesize $1\times 3$ rectangle',(1.5,0),S);\ndraw(shift(8,1)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(9,1)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(10,1)*unitsquare,linewidth(1));\ndraw(shift(9,0)*unitsquare,linewidth(1));\nlabel('\footnotesize T-shaped tetromino',(9.5,0),S);\n[/asy] El rectángulo de $1\times 3$ cubre exactamente tres cuadrados del tablero de ajedrez, y el tetromino en forma de T cubre exactamente cuatro cuadrados del tablero de ajedrez. (a) ¿Cuál es el número máximo de piezas que se pueden usar? (b) ¿De cuántas maneras se puede cubrir el tablero de ajedrez usando este número máximo de piezas?

El triángulo $ABC$ está inscrito en el círculo $\Gamma$ . Sea $\Gamma_a$ el círculo internamente tangente a $\Gamma$ y también tangente a los lados $AB$ y $AC$ . Sea $A'$ el punto de tangencia de $\Gamma$ y $\Gamma_a$ . Define $B'$ y $C'$ de manera similar. Demuestra que $AA'$ , $BB'$ y $CC'$ son concurrentes.

Sean $x$ , $y$ , y $z$ números reales positivos que satisfacen $x^2+y^2+z^2=1$ . Demuestra que \[x^2yz+xy^2z+xyz^2\le\frac{1}{3}.\]

Encuentre todos los polinomios $P$ con coeficientes enteros tales que $P (0)\ne 0$ y $$P^n(m)\cdot P^m(n)$$ es un cuadrado de un entero para todos los enteros no negativos $n, m$ .\n Observación: Para un entero no negativo $k$ y un entero $n$ , $P^k(n)$ se define como sigue: $P^k(n) = n$ si $k = 0$ y $P^k(n)=P(P(^{k-1}(n))$ si $k >0$ .

Sea $ABC$ un triángulo escaleno y sea su incírculo tangente a los lados $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D$ , $E$ y $F$ respectivamente. Sea la línea $AD$ que intersecta este incírculo en el punto $X$ . Se elige un punto $M$ en la línea $FX$ de tal manera que el cuadrilátero $AFEM$ sea cíclico. Sean las líneas $AM$ y $DE$ que se intersectan en el punto $L$ y sea $Q$ el punto medio del segmento $AE$ . Se da un punto $T$ en la línea $LQ$ tal que el cuadrilátero $ALDT$ sea cíclico. Sea $S$ un punto tal que el cuadrilátero $TFSA$ sea un paralelogramo, y sea $N$ el segundo punto de intersección de la circunferencia del triángulo $ASX$ y la línea $TS$ . Demuestre que las circunferencias de los triángulos $TAN$ y $LSA$ son tangentes entre sí.

Un partido de fútbol amistoso dura 90 minutos. En este problema, consideramos uno de los equipos, entrenado por Sir Alex, que juega con 11 jugadores en todo momento.\n a) Sir Alex quiere que cada uno de sus jugadores juegue el mismo número entero de minutos, pero cada jugador tiene que jugar menos de 60 minutos en total. ¿Cuál es el número mínimo de jugadores requerido?\n b) Para el número de jugadores encontrados en a), ¿cuál es el número mínimo de sustituciones requeridas, para que cada jugador juegue el mismo número de minutos?\n Observación: Las sustituciones sólo pueden tener lugar después de un número entero positivo de minutos, y los jugadores que han salido antes pueden volver al juego tantas veces como sea necesario. No hay límite en el número de sustituciones permitidas.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tales que la desigualdad $$f(x)+yf(f(x))\le x(1+f(y))$$ se cumple para todos los enteros positivos $x, y$ .

Los números reales $x,y,z$ satisfacen $x^2+y^2+z^2=3.$ Demuestre que la desigualdad $x^3-(y^2+yz+z^2)x+yz(y+z)\le 3\sqrt{3}.$ y encuentre todas las ternas $(x,y,z)$ para las cuales se cumple la igualdad.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Denotemos por $H$ y $M$ el ortocentro de $ABC$ y el punto medio del lado $BC,$ respectivamente. Sea $Y$ un punto en $AC$ tal que $YH$ es perpendicular a $MH$ y sea $Q$ un punto en $BH$ tal que $QA$ es perpendicular a $AM.$ Sea $J$ el segundo punto de intersección de $MQ$ y el círculo con diámetro $MY.$ Demuestre que $HJ$ es perpendicular a $AM.$

Un hexágono regular en el plano se llama dulce si su área es igual a $1$ . ¿Es posible colocar $2000000$ hexágonos dulces en el plano de tal manera que la unión de sus interiores sea un polígono convexo de área al menos $1900000$ ?\n Observación: Un subconjunto $S$ del plano se llama convexo si para cada par de puntos en $S$ , cada punto en el segmento de línea recta que une el par de puntos también pertenece a $S$ . Los hexágonos pueden superponerse.