Resolver en enteros la ecuación : $x^2y+y^2=x^3$

¿Es posible elegir $1983$ enteros positivos distintos, todos menores o iguales que $10^5$ , ninguno de los cuales son términos consecutivos de una progresión aritmética?

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $\mathcal{E}$ el conjunto de todos los puntos contenidos en los tres segmentos $AB$ , $BC$ , y $CA$ (incluidos $A$ , $B$ , y $C$ ) . Determinar si, para cada partición de $\mathcal{E}$ en dos subconjuntos disjuntos, al menos uno de los dos subconjuntos contiene los vértices de un triángulo rectángulo.

Sean $a,b$ y $c$ enteros positivos, no dos de los cuales tienen un divisor común mayor que $1$ . Demostrar que $2abc-ab-bc-ca$ es el mayor entero que no puede expresarse en la forma $xbc+yca+zab$ , donde $x,y,z$ son enteros no negativos.

Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos círculos coplanarios desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a los círculos toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$ , mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$ . Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$ . Demostrar que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$ .

Hallar todas las funciones $f$ definidas en el conjunto de los reales positivos que toman valores reales positivos y satisfacen: $f(xf(y))=yf(x)$ para todo $x,y$ ; y $f(x)\to 0$ cuando $x\to\infty$ .

Las diagonales de un cuadrilátero cíclico $ABCD$ se intersecan en el punto $K.$ Los puntos medios de las diagonales $AC$ y $BD$ son $M$ y $N,$ respectivamente. Los círculos circunscritos $ADM$ y $BCM$ se intersecan en los puntos $M$ y $L.$ Demuestre que los puntos $K ,L ,M,$ y $ N$ se encuentran en un círculo. (Se supone que todos los puntos son diferentes.)

Sea $n$ un entero, $n>1.$ Un elemento del conjunto $M=\{ 1,2,3,\ldots,n^2-1\}$ se llama bueno si existe algún elemento $b$ de $M$ tal que $ab-b$ es divisible por $n^2.$ Además, un elemento $a$ se llama muy bueno si $a^2-a$ es divisible por $n^2.$ Sea $g$ el número de elementos buenos en $M$ y $v$ el número de elementos muy buenos en $M.$ Demuestre que \[v^2+v \leq g \leq n^2-n.\]

Encuentre el número máximo de conjuntos que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones:\ni) cualquiera de los conjuntos consta de $4$ elementos,\nii) dos conjuntos diferentes cualesquiera tienen exactamente $2$ elementos comunes,\niii) no hay dos elementos comunes a todos los conjuntos.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de todos los enteros positivos. Un par ordenado $(a;b)$ de números $a,b\in\mathbb{N}$ se llama interesante, si para cualquier $n\in\mathbb{N}$ existe $k\in\mathbb{N}$ tal que el número $a^k+b$ es divisible por $2^n$. Encuentra todos los pares ordenados interesantes de números.