Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfacen la igualdad, \[f(x+f(y))=f(x-f(y))+4xf(y)\] para cualquier $x,y\in\mathbb{R}$ .

Dado un trapecio $ABCD$, sean $M$ y $N$ los puntos medios de las bases $AD$ y $BC$, respectivamente.\na) Demostrar que el trapecio es isósceles si se sabe que el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados laterales pertenece al segmento $MN$.\nb) ¿Sigue siendo válida la afirmación del punto a) si solo se sabe que el punto de intersección de las bisectrices perpendiculares de los lados laterales pertenece a la línea $MN$?

$ABCD$ es un cuadrilátero inscrito en un círculo $\Gamma$. Las líneas $AB$ y $CD$ se intersecan en $E$ y las líneas $AD$ y $BC$ se intersecan en $F$. Demostrar que el círculo con diámetro $EF$ y el círculo $\Gamma$ son ortogonales.

Sean $x,y,z$ reales positivos para los cuales: $\sum (xy)^{2}=6xyz$ Demostrar que: $\sum \sqrt{\frac{x}{x+yz}}\geq \sqrt{3}$ .

Determinar el entero más pequeño $k$ para el cual la siguiente historia podría ser verdad: En un torneo de ajedrez con $24$ jugadores, cada par de jugadores juega al menos $2$ y como máximo $k$ partidas entre sí. Al final del torneo, resulta que cada jugador ha jugado un número diferente de partidas.

¿Existen dos polinomios mónicos reales $P(x)$ y $Q(x)$ de grado 3, tales que las raíces de $P(Q(X))$ son nueve enteros no negativos distintos por pares que suman $72$? (En un polinomio mónico de grado 3, el coeficiente de $x^{3}$ es $1$).

En una gran fiesta de Nochevieja, cada invitado recibe dos sombreros: uno rojo y otro azul. Al comienzo de la fiesta, todos los invitados se ponen el sombrero rojo. Varias veces durante la noche, el anunciador anuncia el nombre de uno de los invitados y, en ese momento, el nombrado y cada uno de sus amigos cambian el sombrero que llevan por el otro color. Demuestra que el anunciador puede hacer que todos los invitados lleven el sombrero azul cuando termine la fiesta. Nota: Todos los invitados permanecen en la fiesta de principio a fin.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo de radio $1$ , de modo que $AB$ es un diámetro de la circunferencia y $CD = 1$ . Un punto variable $X$ se mueve a lo largo de la semicircunferencia determinada por $AB$ que no contiene a $C$ ni a $D$ . Determine la posición de $X$ para la cual la suma de las distancias de $X$ a las líneas $BC, CD$ y $DA$ es máxima.

Prueba la siguiente desigualdad: $$ \frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1 \cdot 2}+\sqrt[3]{2^2} } + \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}+\sqrt[3]{3 \cdot 4}+\sqrt[3]{4^2} }+...+ \frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999 \cdot 1000}+\sqrt[3]{1000^2} }> \frac{9}{2}$$ (El miembro de la izquierda tiene 500 fracciones.)

Dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: $A$ elige un punto, con coordenadas enteras, en el plano y lo colorea de verde, luego $B$ elige $10$ puntos de coordenadas enteras, aún no coloreados, y los colorea de amarillo. El juego siempre continúa con las mismas reglas; $A$ y $B$ eligen uno y diez puntos sin colorear y los colorean de verde y amarillo, respectivamente. \na. El objetivo de $A$ es lograr $111^2$ puntos verdes que son las intersecciones de $111$ líneas horizontales y $111$ líneas verticales (paralelas a los ejes de coordenadas). El objetivo de $B$ es detenerlo. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia que le asegure lograr su objetivo. \nb. El objetivo de $A$ es lograr $4$ puntos verdes que son los vértices de un cuadrado con lados paralelos a los ejes de coordenadas. El objetivo de $B$ es detenerlo. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia que le asegure lograr su objetivo.