Sean $p_1, p_2, ..., p_k$ $k$ primos diferentes. Consideramos todos los enteros positivos que usan solo estos primos (no necesariamente todos) en su factorización prima, y ordenamos esos números en orden creciente, formando una secuencia infinita: $a_1 < a_2 < ... < a_n < ...$ Prueba que, para cada número $c$ , existe $n$ tal que $a_{n+1} -a_n > c$ .

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno cuyo ortocentro es $H$ . $M$ es el punto medio del segmento $BC$ . $N$ es el punto donde el segmento $AM$ interseca la circunferencia determinada por $B, C$ , y $H$ . Muestra que las líneas $HN$ y $AM$ son perpendiculares.

Sea $Q$ un tablero de $(2n+1) \times (2n+1)$. Algunas de sus celdas están coloreadas de negro de tal manera que cada tablero de $2 \times 2$ de $Q$ tiene como máximo $2$ celdas negras. Hallar la máxima cantidad de celdas negras que el tablero puede tener.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ un punto en $AC$ . Si $\angle{CBD} - \angle{ABD} = 60^{\circ}, \hat{BDC} = 30^{\circ}$ y también $AB \cdot BC = BD^{2}$ , determinar la medida de todos los ángulos del triángulo $ABC$.

Un número $\overline{abcd}$ se llama equilibrado si $a+b=c+d$ . Hallar todos los números equilibrados de 4 dígitos que son la suma de dos números palíndromos.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sea $P$ un punto dentro de él tal que la raíz cuadrada de la distancia de $P$ a uno de los lados es igual a la suma de las raíces cuadradas de las distancias de $P$ a los otros dos lados. Hallar el lugar geométrico de $P$.

Los números $1$ a $4^{n}$ están escritos en una pizarra. En cada paso, Pedro borra dos números $a$ y $b$ de la pizarra, y escribe en su lugar el número $\frac{ab}{\sqrt{2a^2+2b^2}}$ . Pedro repite este procedimiento hasta que sólo queda un número. Demostrar que este número es menor que $\frac{1}{n}$ , no importa qué números Pedro eligió en cada paso.

Hallar todas las ternas de enteros positivos $(x,y,z)$ tales que $x^{2}+y^{2}+z^{2}=2011$.

Sea $g(x) = ax^2 + bx + c$ una función cuadrática con coeficientes reales tal que la ecuación $g(g(x)) = x$ tiene cuatro raíces reales distintas. Pruebe que no existe una función $f$ : $R--R$ tal que $f(f(x)) = g(x)$ para todo $x$ real

Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ , sea $L$ el punto medio del arco $BC$ (el punto $A$ no está en este arco) de la circunferencia circunscrita $w$ ( $ABC$ ) . Sea $E$ un punto en $AC$ donde $AE = \frac{AB + AC}{2}$ , la línea $EL$ interseca a $w$ en $P$ . Si $M$ y $N$ son los puntos medios de $AB$ y $BC$ , respectivamente, pruebe que $AL, BP$ y $MN$ son concurrentes