Sean $a, b$ y $c$ enteros positivos tales que $a^2 + b^2 + 1 = c^2$ . Pruebe que $[a/2] + [c / 2]$ es par. Nota: $[x]$ es la parte entera de $x$ .

Sea $n>1$ un entero. Para cada número $(x_1, x_2,\dots, x_n)$ con $x_1^2+x_2^2+x_3^2+\dots +x_n^2=1$ , denotemos $m=\min\{|x_i-x_j|, 0<i<j<n+1\}$. Encuentre el valor máximo de $m$ .

En un triángulo $ABC$ , se consideran los puntos $D, E$ y $F$ en los lados $BC, CA$ y $AB$ respectivamente, tales que las áreas de los triángulos $AFE, BFD$ y $CDE$ son iguales. Pruebe que $$\frac{(DEF) }{ (ABC)} \ge \frac{1}{4}$$ Nota: $(XYZ)$ es el área del triángulo $XYZ$ .

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que el número $b^2 + (b +1)^2 +...+ (b + a)^2-3$ es múltiplo de $5$ y $a + b$ es impar. Calcular la cifra de las unidades del número $a + b$ escrito en notación decimal.

Una calculadora tiene dos operaciones $A$ y $B$ e inicialmente muestra el número $1$ . La operación $A$ transforma $x$ en $x+1$ y la operación B transforma $x$ en $\dfrac{x}{x+1}$ . a) Muestra todas las formas en que podemos obtener el número $\dfrac{20}{23}$ . b) Para cada racional $r \neq 1$ , determina si es posible obtener $r$ usando solo las operaciones $A$ y $B$ .

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con lado 1. Los puntos $X, Y$ están en los lados $CD$ y $DE$ respectivamente, de tal manera que el perímetro de $DXY$ es $2$ . Determina $\angle XAY$ .

Un entero positivo con 3 dígitos $\overline{ABC}$ es $Lusófono$ si $\overline{ABC}+\overline{CBA}$ es un cuadrado perfecto. Encuentra todos los números $Lusófonos$.

Un entero $n$ se llama $k$ - especial, con $k$ un entero positivo, si es la suma de los cuadrados de $k$ enteros consecutivos. Por ejemplo, $13$ es $2$ - especial, ya que $13=2^2+3^2$ , y $2$ es $3$ - especial, ya que $2=(-1)^2+0^2+1^2$ . a) Demuestra que no hay un cuadrado perfecto que sea $4$ - especial. b) Encuentra un cuadrado perfecto que sea $I^2$ - especial, para algún entero positivo impar $I$ con $I\ge 3$ .

Sea $D$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $AD=CD$ , $\angle DAB=70^{\circ}$ , $\angle DBA=30^{\circ}$ y $\angle DBC=20^{\circ}$ . Encuentra la medida del ángulo $\angle DCB$ .

Hace mucho tiempo, existían marcianos con $3$ colores diferentes: rojo, verde y azul. Como Marte fue devastado por una guerra intergaláctica, solo sobrevivieron $2$ marcianos de cada color. Para reconstruir la población marciana, decidieron usar una máquina que transforma dos marcianos de distintos colores en cuatro marcianos de color diferente a los dos iniciales. Por ejemplo, si un marciano rojo y un marciano azul usan la máquina, se transformarán en cuatro marcianos verdes. a) ¿Es posible que, después de usar esa máquina un número finito de veces, tengamos $2022$ marcianos rojos, $2022$ marcianos verdes y $2022$ marcianos azules? b) ¿Es posible que, después de usar esa máquina un número finito de veces, tengamos $2021$ marcianos rojos, $2022$ marcianos verdes y $2023$ marcianos azules?