Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 8
Dado un tetraedro $ABCD$ , en el que $AB=CD= 13 , AC=BD=14$ y $AD=BC=15$ . Demuestra que los centros de la esfera inscrita y la esfera que lo rodea coinciden, y encuentra los radios de estas esferas.
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 7
En el conjunto de todos los números reales positivos se define la operación $a * b = a^b$ . Encuentra todos los números racionales positivos para los cuales $a * b = b * a$.
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 6
Dada la secuencia $f_1(a)=sin(0,5\pi a)$ $f_2(a)=sin(0,5\pi (sin(0,5\pi a)))$ $...$ $f_n(a)=sin(0,5\pi (sin(...(sin(0,5\pi a))...)))$ , donde $a$ es cualquier número real. ¿A qué límite aspiran los miembros de esta secuencia cuando $n \to \infty$ ?
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 5
Resuelve la ecuación $\sqrt{1981-\sqrt{1996+x}}=x+15$
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 4
Dado un segmento de longitud $7\sqrt3$ . ¿Es posible usar solo el compás para construir un segmento de longitud $\sqrt7$ ?
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 3
Nueve puntos del plano, situados en los vértices de un nonágono regular, están conectados por pares mediante segmentos, cada uno de los cuales está coloreado de rojo o azul. Se sabe que en cualquier triángulo con vértices en los vértices del nonágono al menos un lado es rojo. Demuestra que hay cuatro puntos, dos cualesquiera de los cuales están conectados por líneas rojas.
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 2
Dado un conjunto finito de números reales $A$, que no contiene $0$ ni $1$ y que posee la propiedad: si el número a pertenece a $A$, entonces los números $\frac{1}{a}$ y $1-a$ también pertenecen a $A$. ¿Cuántos números hay en el conjunto $A$?
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Olimpiada Tuymaada 1996 Problema 1
Demuestra la desigualdad $x_1y_1+x_2y_2+x_2y_1+2x_2y_2\le 1996$ si $x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2\le 998$ y $y_1^2+2y_1y_2+2y_2^2\le 3992$ .
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1975 Problema 6
Determina los polinomios P de dos variables tal que: a.) para cualquier número real $t,x,y$ tenemos $P(tx,ty) = t^n P(x,y)$ donde $n$ es un entero positivo, el mismo para todos $t,x,y;$ b.) para cualquier número real $a,b,c$ tenemos $P(a + b,c) + P(b + c,a) + P(c + a,b) = 0;$ c.) $P(1,0) =1.$
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Olimpiada Internacional de Matemáticas 1975 Problema 5
¿Se pueden dibujar en un círculo de radio $1$ un número de $1975$ puntos distintos, de modo que la distancia (medida en la cuerda) entre dos puntos cualesquiera (de los puntos considerados) sea un número racional?
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