Cuando $4444^{4444}$ se escribe en notación decimal, la suma de sus dígitos es $ A.$ Sea $B$ la suma de los dígitos de $A.$ Encuentra la suma de los dígitos de $ B.$ ( $A$ y $B$ se escriben en notación decimal.)

En el plano de un triángulo $ABC,$ en su exterior $,$ dibujamos los triángulos $ABR, BCP, CAQ$ tal que $\angle PBC = \angle CAQ = 45^{\circ}$ , $\angle BCP = \angle QCA = 30^{\circ}$ , $\angle ABR = \angle RAB = 15^{\circ}$ . Demuestra que a.) $\angle QRP = 90\,^{\circ},$ y b.) $QR = RP.$

Sea $a_{1}, \ldots, a_{n}$ una secuencia infinita de enteros estrictamente positivos, tal que $a_{k} < a_{k+1}$ para cualquier $k.$ Demuestra que existe un infinito de términos $ a_{m},$ que pueden ser escritos como $a_m = x \cdot a_p + y \cdot a_q$ con $x,y$ enteros estrictamente positivos y $p \neq q.$

Consideramos dos sucesiones de números reales $x_{1} \geq x_{2} \geq \ldots \geq x_{n}$ e $\ y_{1} \geq y_{2} \geq \ldots \geq y_{n}.$ Sea $z_{1}, z_{2}, .\ldots, z_{n}$ una permutación de los números $y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}.$ Demuestra que $\sum \limits_{i=1}^{n} ( x_{i} -\ y_{i} )^{2} \leq \sum \limits_{i=1}^{n}$ $( x_{i} - z_{i})^{2}.$

Sean $A$ y $E$ vértices opuestos de un octágono. Una rana comienza en el vértice $A$. Desde cualquier vértice excepto $E$ salta a uno de los dos vértices adyacentes. Cuando llega a $E$ se detiene. Sea $a_n$ el número de caminos distintos de exactamente $n$ saltos que terminan en $E$. Demuestra que: \[ a_{2n-1}=0, \quad a_{2n}={(2+\sqrt2)^{n-1} - (2-\sqrt2)^{n-1} \over\sqrt2}. \]

Encuentra el número máximo $ c$ tal que para todo $n \in \mathbb{N}$ se tenga \[ \{n \cdot \sqrt{2}\} \geq \frac{c}{n}\] donde $ \{n \cdot \sqrt{2}\} = n \cdot \sqrt{2} - [n \cdot \sqrt{2}]$ y $ [x]$ es la parte entera de $ x.$ Determina para este número $ c,$ todo $ n \in \mathbb{N}$ para el cual $ \{n \cdot \sqrt{2}\} = \frac{c}{n}.$

¿Existen dos secuencias de números reales $ \{a_i\}, \{b_i\},$ $ i \in \mathbb{N},$ que satisfagan las siguientes condiciones: \[ \frac{3 \cdot \pi}{2} \leq a_i \leq b_i\] y \[ \cos(a_i x) - \cos(b_i x) \geq - \frac{1}{i}\] $ \forall i \in \mathbb{N}$ y para todo $ x,$ con $ 0 < x < 1?$

Sean $ Ax,By$ dos semi-rectas perpendiculares, no complanarias, tales que $ AB$ es su perpendicular común, y sean $ M$ y $ N$ los dos puntos variables en $ Ax$ y $ Bx,$ respectivamente, tales que $ AM + BN = MN.$ (a) Demuestre que existen infinitas rectas coplanares con cada una de las rectas $ MN.$ (b) Demuestre que existen infinitas rotaciones alrededor de un eje fijo $ \delta$ que mapea la recta $ Ax$ sobre una recta coplanaria con cada una de las rectas $ MN.$

Para cada secuencia $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ de números primos naturales no nulos, $ \{1, 2, \ldots, n\}$ dispuestos en cualquier orden, denotamos por $ f(s)$ la suma de los valores absolutos de las diferencias entre dos miembros consecutivos de $ s.$ Encuentre el valor máximo de $ f(s)$ donde $ s$ recorre el conjunto de todas tales secuencias, i.e. para todas las secuencias $ s$ con las propiedades dadas.

Sea $ E$ el conjunto de todos los triángulos cuyos únicos puntos con coordenadas enteras (en el sistema de coordenadas cartesianas en el espacio), en su interior o en sus lados, son sus tres vértices, y sea $ f$ la función del área de un triángulo. Determine el conjunto de valores $ f(E)$ de $ f.$