Sea $ n > 1$ un entero fijo. Definimos las funciones $ f_0(x) = 0,$ $ f_1(x) = 1 - \cos(x),$ y para $ k > 0,$ \[ f_{k+1}(x) = f_k(x) \cdot \cos(x) - f_{k-1}(x).\] Si $ F(x) = \sum^n_{r=1} f_r(x),$ pruebe que (a) $ 0 < F(x) < 1$ para $ 0 < x < \frac{\pi}{n+1},$ y (b) $ F(x) > 1$ para $ \frac{\pi}{n+1} < x < \frac{\pi}{n}.$

El vértice $ A$ del triángulo acutángulo $ ABC$ es equidistante del circuncentro $ O$ y el ortocentro $ H.$ Determine todos los valores posibles para la medida del ángulo $ A.$

Para cada número complejo distinto de cero $ z,$ sea $\arg(z)$ el número real único $ t$ tal que $ -\pi < t \leq \pi$ y $ z = |z|(\cos(t) + \textrm{i} sin(t)).$ Dado un número real $ c > 0$ y un número complejo $ z \neq 0$ con $\arg z \neq \pi,$ defina \[ B(c, z) = \{b \in \mathbb{R} \ ; \ |w - z| < b \Rightarrow |\arg(w) - \arg(z)| < c\}.\] Determine las condiciones necesarias y suficientes, en términos de $ c$ y $ z,$ tales que $ B(c, z)$ tiene un elemento máximo, y determine cuál es este elemento máximo en este caso.

Un reloj analógico preciso de 12 horas tiene una manecilla horaria, una manecilla minutera y una manecilla segundera que están alineadas a las 12:00 en punto y hacen una revolución en 12 horas, 1 hora y 1 minuto, respectivamente. Es bien sabido, y no es difícil de probar, que no hay un momento en que las tres manecillas estén espaciadas uniformemente alrededor del reloj, con cada ángulo de separación $ \frac{2 \cdot \pi}{3}.$ Sean $ f(t), g(t), h(t)$ las respectivas desviaciones absolutas de los ángulos de separación de \frac{2 \cdot \pi}{3} a $ t$ horas después de las 12:00 en punto. ¿Cuál es el valor mínimo de $ max\{f(t), g(t), h(t)\}$?

Si en un cuadrilátero convexo $ABCD, E$ y $F$ son los puntos medios de los lados $BC$ y $DA$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los triángulos $EDA$ y $FBC$ es igual al área del cuadrilátero.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero y $ \Gamma$ la semicircunferencia dibujada exteriormente al triángulo, teniendo $BC$ como diámetro. Demuestre que si una línea que pasa por $A$ triseca $BC,$ también triseca el arco $ \Gamma.$

Sea $A$ una matriz de $n \times n$ cuyos elementos son números reales no negativos. Asuma que $A$ es una matriz no singular y todos los elementos de $A^{-1}$ son números reales no negativos. Demuestre que cada fila y cada columna de $A$ tiene exactamente un elemento no nulo.

Una función aritmética es una función con valores reales cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos. Defina el producto de convolución de dos funciones aritméticas $f$ y $g$ como la función aritmética $f * g$ , donde \[ (f * g)(n) = \sum_{ij=n} f(i) \cdot g(j),\] y $f^{*k} = f * f * \ldots * f$ ( $k$ veces) Decimos que dos funciones aritméticas $f$ y $g$ son dependientes si existe un polinomio no trivial de dos variables $P(x, y) = \sum_{i,j} a_{ij} x^i y^j$ con coeficientes reales tal que \[ P(f,g) = \sum_{i,j} a_{ij} f^{*i} * g^{*j} = 0,\] y decimos que son independientes si no son dependientes. Sean $p$ y $q$ dos primos distintos y sea \[ f_1(n) = \begin{cases} 1 & \text{ si } n = p, \\ 0 & \text{ de otro modo}. \end{cases}\] \[ f_2(n) = \begin{cases} 1 & \text{ si } n = q, \\ 0 & \text{ de otro modo}. \end{cases}\] Demuestre que $f_1$ y $f_2$ son independientes.

Sea $f : \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}$ tal que (i) $f$ es estrictamente creciente; (ii) $f(mn) = f(m)f(n) \quad \forall m, n \in \mathbb{N};$ y (iii) si $m \neq n$ y $m^n = n^m,$ entonces $f(m) = n$ o $f(n) = m.$ Determine $f(30).$

Sea $n$ un entero positivo, $X = \{1, 2, \ldots , n\},$ y $k$ un entero positivo tal que $ \frac{n}{2} \leq k \leq n.$ Determine, con prueba, el número de todas las funciones $f : X \mapsto X$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $f^2 = f;$ (ii) el número de elementos en la imagen de $f$ es $k;$ (iii) para cada $y$ en la imagen de $f,$ el número de todos los puntos $x \in X$ tales que $f(x)=y$ es a lo sumo $2.$