Sean $ a_1 \geq a_2 \geq a_3 \in \mathbb{Z}^+$ dados y sea N $ (a_1, a_2, a_3)$ el número de soluciones $ (x_1, x_2, x_3)$ de la ecuación \[ \sum^3_{k=1} \frac{a_k}{x_k} = 1.\] donde $ x_1, x_2,$ y $ x_3$ son enteros positivos. Demuestra que \[ N(a_1, a_2, a_3) \leq 6 a_1 a_2 (3 + ln(2 a_1)).\]

Demuestra que para cada entero positivo $ n$ existen $ n$ enteros positivos consecutivos ninguno de los cuales es una potencia entera de un número primo.

Demuestra que $ a < b$ implica que $ a^3 - 3a \leq b^3 - 3b + 4.$ ¿Cuándo ocurre la igualdad?

Para $ \phi: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{Z}$ definamos \[ M_{\phi} = \{f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{Z}, f(x) > f(\phi(x)), \forall x \in \mathbb{N} \}.\] Demuestra que si $ M_{\phi_1} = M_{\phi_2} \neq \emptyset,$ entonces $ \phi_1 = \phi_2.$ ¿Esta propiedad sigue siendo verdadera si \[ M_{\phi} = \{f: \mathbb{N} \mapsto \mathbb{N}, f(x) > f(\phi(x)), \forall x \in \mathbb{N} \}?\]

Encuentra el conjunto de todos los $ a \in \mathbb{R}$ para los cuales no existe una secuencia infinita $ (x_n)_{n \geq 0} \subset \mathbb{R}$ que satisfaga $ x_0 = a,$ y para $ n = 0,1, \ldots$ tenemos \[ x_{n+1} = \frac{x_n + \alpha}{\beta x_n + 1}\] donde $ \alpha \beta > 0.$

155 pájaros $ P_1, \ldots, P_{155}$ están sentados en el borde de un círculo $ C.$ Dos pájaros $ P_i, P_j$ son mutuamente visibles si el ángulo en el centro $ m(\cdot)$ de sus posiciones $ m(P_iP_j) \leq 10^{\circ}.$ Encuentre el número más pequeño de pares de pájaros mutuamente visibles, es decir, el conjunto mínimo de pares $ \{x,y\}$ de pares de pájaros mutuamente visibles con $ x,y \in \{P_1, \ldots, P_{155}\}.$ Se asume que una posición (punto) en $ C$ puede ser ocupada simultáneamente por varios pájaros, por ejemplo, todos los pájaros posibles.

Demuestre que la secuencia $ (a_n)_{n \geq 0,}, a_n = [n \cdot \sqrt{2}],$ contiene un número infinito de cuadrados perfectos.

Considere en un plano $ P$ los puntos $ O,A_1,A_2,A_3,A_4$ tales que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq 1 \quad \forall i, j = 1, 2, 3, 4, i \neq j.\] donde $ \sigma(OA_iA_j)$ es el área del triángulo $ OA_iA_j.$ Demuestre que existe al menos un par $ i_0, j_0 \in \{1, 2, 3, 4\}$ tal que \[ \sigma(OA_iA_j) \geq \sqrt{2}.\]

Sea $ m$ un entero positivo impar, $ m > 2.$ Encuentre el entero positivo más pequeño $ n$ tal que $ 2^{1989}$ divide a $ m^n - 1.$

Sea un $ (2n +1)-$ g on regular inscrito en un círculo de radio $ r.$ Consideramos todos los triángulos cuyos vértices son de los del $ (2n + 1)-$ g on regular. (a) ¿Cuántos triángulos entre ellos contienen el centro del círculo en su interior? (b) Encuentre la suma de las áreas de todos esos triángulos que contienen el centro del círculo en su interior.