Sea $ n \in \mathbb{Z}^+$ y sean $ a, b \in \mathbb{R}.$ Determina el rango de $ x_0$ para el cual \[ \sum^n_{i=0} x_i = a \text{ y } \sum^n_{i=0} x^2_i = b,\] donde $ x_0, x_1, \ldots , x_n$ son variables reales.

Sean $ a, b \in \mathbb{Z}$ que no son cuadrados perfectos. Demuestra que si \[ x^2 - ay^2 - bz^2 + abw^2 = 0\] tiene una solución no trivial en enteros, entonces también lo hace \[ x^2 - ay^2 - bz^2 = 0.\]

Sea $ A$ un conjunto de enteros positivos tal que ningún entero positivo mayor que 1 divide a todos los elementos de $ A.$ Demuestra que cualquier entero positivo suficientemente grande puede escribirse como una suma de elementos de $ A.$ (Los elementos pueden aparecer varias veces en la suma.)

Una función con valores reales $ f$ en $ \mathbb{Q}$ satisface las siguientes condiciones para arbitrarios $ \alpha, \beta \in \mathbb{Q}:$ (i) $ f(0) = 0,$ (ii) $ f(\alpha) > 0 \text{ si } \alpha \neq 0,$ (iii) $ f(\alpha \cdot \beta) = f(\alpha)f(\beta),$ (iv) $ f(\alpha + \beta) \leq f(\alpha) + f(\beta),$ (v) $ f(m) \leq 1989$ $ \forall m \in \mathbb{Z}.$ Demuestra que \[ f(\alpha + \beta) = \max\{f(\alpha), f(\beta)\} \text{ si } f(\alpha) \neq f(\beta).\]

Una balanza tiene un plato izquierdo, un plato derecho y un puntero que se mueve a lo largo de una regla graduada. Como muchas otras balanzas de tiendas de comestibles, esta funciona de la siguiente manera: Un objeto de peso $ L$ se coloca en el plato izquierdo y otro de peso $ R$ en el plato derecho, el puntero se detiene en el número $ R - L$ en la regla graduada. Hay $ n, (n \geq 2)$ bolsas de monedas, cada una contiene $ \frac{n(n-1)}{2} + 1$ monedas. Todas las monedas se ven iguales (forma, color, etc.). $ n-1$ bolsas contienen monedas reales, todas con el mismo peso. La otra bolsa (no sabemos cuál es) contiene monedas falsas. Todas las monedas falsas tienen el mismo peso, y este peso es diferente del peso de las monedas reales. Una pesada legal consiste en colocar un cierto número de monedas en uno de los platos, poner un cierto número de monedas en el otro plato y leer el número dado por el puntero en la regla graduada. Con solo dos pesadas legales es posible identificar la bolsa que contiene monedas falsas. Encuentra una manera de hacer esto y explícalo.

Dados dos números naturales $ w$ y $ n,$ la torre de $ n$ $ w's$ es el número natural $ T_n(w)$ definido por \[ T_n(w) = w^{w^{\cdots^{w}}},\] con $ n$ $ w's$ en el lado derecho. Más precisamente, $ T_1(w) = w$ y $ T_{n+1}(w) = w^{T_n(w)}.$ Por ejemplo, $ T_3(2) = 2^{2^2} = 16,$ $ T_4(2) = 2^{16} = 65536,$ y $ T_2(3) = 3^3 = 27.$ Encontrar la torre más pequeña de $ 3's$ que excede la torre de $ 1989$ $ 2's.$ En otras palabras, encontrar el valor más pequeño de $ n$ tal que $ T_n(3) > T_{1989}(2).$ Justificar su respuesta.

Sea $ P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros tal que \[ P(m_1) = P(m_2) = P(m_3) = P(m_4) = 7\] para enteros distintos dados $ m_1,m_2,m_3,$ y $ m_4.$ Demostrar que no existe un entero m tal que $ P(m) = 14.$

Sean $ a, b, c, r,$ y $ s$ números reales. Demostrar que si $ r$ es una raíz de $ ax^2+bx+c = 0$ y s es una raíz de $ -ax^2+bx+c = 0,$ entonces \[ \frac{a}{2} x^2 + bx + c = 0\] tiene una raíz entre $ r$ y $ s.$

Poldavia es un reino extraño. Su unidad monetaria es el bourbaki y existen sólo dos tipos de monedas: de oro y de plata. Cada moneda de oro vale $ n$ bourbakis y cada moneda de plata vale $ m$ bourbakis ( $ n$ y $ m$ son enteros positivos). Usando monedas de oro y plata, es posible obtener sumas como 10000 bourbakis, 1875 bourbakis, 3072 bourbakis, y así sucesivamente. Pero el sistema monetario de Poldavia no es tan extraño como parece: (a) Demostrar que es posible comprar cualquier cosa que cueste un número entero de bourbakis, siempre y cuando uno pueda recibir cambio. (b) Demostrar que cualquier pago por encima de $ mn-2$ bourbakis se puede hacer sin la necesidad de recibir cambio.

Resolver en el conjunto de los números reales la ecuación \[ 3x^3 - [x] = 3,\] donde $ [x]$ denota la parte entera de $ x.$