Para puntos $ A_1, \ldots ,A_5$ en la esfera de radio 1, ¿cuál es el valor máximo que $ min_{1 \leq i,j \leq 5} A_iA_j$ puede tomar? Determine todas las configuraciones para las cuales se alcanza este máximo. (O: determine el diámetro de cualquier conjunto $ \{A_1, \ldots ,A_5\}$ para el cual se alcanza este máximo.)

Se nos da una colección finita de segmentos en el plano, de longitud total 1. Demuestre que existe una línea $ l$ tal que la suma de las longitudes de las proyecciones de los segmentos dados a la línea $ l$ es menor que $ \frac{2}{\pi}.$

A cada par $ (x, y)$ de elementos distintos de un conjunto finito $ X$ se le asigna un número $ f(x, y)$ igual a 0 o 1 de tal manera que $ f(x, y) \neq f(y, x)$ $ \forall x,y$ y $ x \neq y.$ Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) $ X$ es la unión de dos subconjuntos no vacíos disjuntos $ U, V$ tales que $ f(u, v) = 1$ $ \forall u \in U, v \in V.$ (ii) Los elementos de $ X$ pueden ser etiquetados $ x_1, \ldots , x_n$ de modo que \[ f(x_1, x_2) = f(x_2, x_3) = \cdots = f(x_{n-1}, x_n) = f(x_n, x_1) = 1.\] Formulación alternativa: En un torneo de n participantes, cada par juega un juego (sin empates). Demuestre que ocurre exactamente una de las siguientes situaciones: (i) La liga puede dividirse en dos grupos no vacíos de tal manera que cada jugador en uno de estos grupos haya ganado contra cada jugador del otro. (ii) Todos los participantes pueden ser clasificados del 1 al $ n$ de modo que el jugador $ i-$ésimo gana el juego contra el $ (i + 1)$ésimo y el jugador $ n-$ésimo gana contra el primero.

Una permutación $ \{x_1, x_2, \ldots, x_{2n}\}$ del conjunto $ \{1,2, \ldots, 2n\}$ donde $ n$ es un entero positivo, se dice que tiene la propiedad $ T$ si $ |x_i - x_{i + 1}| = n$ para al menos un $ i$ en $ \{1,2, \ldots, 2n - 1\}.$ Demuestre que, para cada $ n$ , hay más permutaciones con la propiedad $ T$ que sin ella.

Dado que \[ \frac{\cos(x) + \cos(y) + \cos(z)}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin(x)+ \sin(y) + \sin(z)}{\sin(x + y + z)} = a,\] demuestre que \[ \cos(y+z) + \cos(z+x) + \cos(x+y) = a.\]

Sean $ k$ y $ s$ enteros positivos. Para conjuntos de números reales $ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\}$ y $ \{\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_s\}$ que satisfacen \[ \sum^s_{i=1} \alpha^j_i = \sum^s_{i=1} \beta^j_i \quad \forall j = \{1,2 \ldots, k\}\] escribimos \[ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\} \overset{k}{=} \{\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_s\}.\] Demuestre que si \[ \{\alpha_1, \alpha_2, \ldots , \alpha_s\} \overset{k}{=} \{\beta_1, \beta_2, \ldots , \beta_s\}\] y $ s \leq k,$ entonces existe una permutación $ \pi$ de $ \{1, 2, \ldots , s\}$ tal que \[ \beta_i = \alpha_{\pi(i)} \quad \forall i = 1,2, \ldots, s.\]

Demuestre que en el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tal que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

Demuestre que la intersección de un plano y un tetraedro regular puede ser un triángulo obtusángulo y que el ángulo obtuso en cualquier triángulo de este tipo es siempre menor que $ 120^{\circ}.$

Sean $ n$ y $ k$ enteros positivos y sea $ S$ un conjunto de $ n$ puntos en el plano tal que i.) no hay tres puntos de $ S$ que sean colineales, y ii.) para cada punto $ P$ de $ S$ hay al menos $ k$ puntos de $ S$ equidistantes de $ P.$ Demuestre que: \[ k < \frac {1}{2} + \sqrt {2 \cdot n} \]

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero inscrito en un círculo de radio $ AB$ tal que $ BC = a, CD = b,$ $ DA = \frac{3 \sqrt{3} - 1}{2} \cdot a$ Para cada punto $ M$ en el semicírculo con radio $ AB$ que no contiene a $ C$ y $ D,$ denote por $ h_1, h_2, h_3$ las distancias desde $ M$ a las líneas rectas (lados) $ BC, CD,$ y $ DA.$ Encuentre el máximo de $ h_1 + h_2 + h_3.$