Un número natural está escrito en cada cuadrado de un tablero de ajedrez de $ m \times n$. El movimiento permitido es agregar un entero $ k$ a cada uno de dos números adyacentes de tal manera que se obtengan números no negativos. (Dos cuadrados son adyacentes si tienen un lado común.) Encuentre una condición necesaria y suficiente para que sea posible que todos los números sean cero después de un número finito de operaciones.

Sean $ l_i,$ $ i = 1,2,3$ tres líneas rectas no colineales en el plano, que construyen un triángulo, y $ f_i$ las reflexiones axiales en $ l_i$ . Demuestre que para cada punto $ P$ en el plano existen interconexiones finitas (composiciones) de las reflexiones de $ f_i$ que llevan $ P$ al triángulo construido por las líneas rectas $ l_i,$ i.e. mapea ese punto a un punto interior al triángulo.

Dado un polígono convexo $ A_1A_2 \ldots A_n$ con área $ S$ y un punto $ M$ en el mismo plano, determine el área del polígono $ M_1M_2 \ldots M_n,$ donde $ M_i$ es la imagen de $ M$ bajo la rotación $ R^{\alpha}_{A_i}$ alrededor de $ A_i$ por $ \alpha_i, i = 1, 2, \ldots, n.$

Demuestre que para $ 0 < k \leq 1$ y $ a_i \in \mathbb{R}^+,$ $ i = 1,2 \ldots, n$ se cumple la siguiente desigualdad: \[ \left( \frac{a_1}{a_2 + \ldots + a_n} \right)^k + \ldots + \left( \frac{a_n}{a_1 + \ldots + a_{n-1}} \right)^k \geq \frac{n}{(n-1)^k}.\]

Una familia de conjuntos $ A_1, A_2, \ldots ,A_n$ tiene las siguientes propiedades: (i) Cada $ A_i$ contiene 30 elementos. (ii) $ A_i \cap A_j$ contiene exactamente un elemento para todo $ i, j, 1 \leq i < j \leq n.$ Determine el mayor $ n$ posible si la intersección de todos estos conjuntos es vacía.

Dados siete puntos en el plano, algunos de ellos están conectados por segmentos tales que: (i) entre tres cualquiera de los puntos dados, dos están conectados por un segmento; (ii) el número de segmentos es mínimo. ¿Cuántos segmentos tiene una figura que satisface (i) y (ii)? Da un ejemplo de tal figura.

Se da un $ n-$ gono regular $ A_1A_2A_3 \cdots A_k \cdots A_n$ inscrito en un círculo de radio $ R$. Si $ S$ es un punto en el círculo, calcula \[ T = \sum^n_{k=1} SA^2_k.\]

Sean $ v_1, v_2, \ldots, v_{1989}$ un conjunto de vectores coplanares con $ |v_r| \leq 1$ para $ 1 \leq r \leq 1989.$ Demuestra que es posible encontrar $ \epsilon_r$ , $1 \leq r \leq 1989,$ cada uno igual a $ \pm 1,$ tal que \[ \left | \sum^{1989}_{r=1} \epsilon_r v_r \right | \leq \sqrt{3}.\]

Sean $ P_1(x), P_2(x), \ldots, P_n(x)$ polinomios reales, es decir, tienen coeficientes reales. Demuestra que existen polinomios reales $ A_r(x),B_r(x) \quad (r = 1, 2, 3)$ tales que \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_1(x) \right)^2 + \left( B_1(x) \right)^2\] \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_2(x) \right)^2 + x \left( B_2(x) \right)^2\] \[ \sum^n_{s=1} \left\{ P_s(x) \right \}^2 \equiv \left( A_3(x) \right)^2 - x \left( B_3(x) \right)^2\]

El conjunto $ \{a_0, a_1, \ldots, a_n\}$ de números reales satisface las siguientes condiciones: (i) $ a_0 = a_n = 0,$ (ii) para $ 1 \leq k \leq n - 1,$ \[ a_k = c + \sum^{n-1}_{i=k} a_{i-k} \cdot \left(a_i + a_{i+1} \right)\] Demuestra que $ c \leq \frac{1}{4n}.$