Sea $ n = 2k - 1$ donde $ k \geq 6$ es un entero. Sea $ T$ el conjunto de todas las $ n-$tuplas $ (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ donde $ x_i \in \{0,1\}$ $ \forall i = \{1,2, \ldots, n\}$ Para $ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in T$ y $ y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in T$ sea $ d(x,y)$ denota el número de enteros $ j$ con $ 1 \leq j \leq n$ tal que $ x_i \neq x_j$ , en particular $ d(x,x) = 0.$ Suponga que existe un subconjunto $ S$ de $ T$ con $ 2^k$ elementos que tiene la siguiente propiedad: Dado cualquier elemento $ x \in T,$ existe un elemento único $ y \in S$ con $ d(x, y) \leq 3.$ Demuestre que $ n = 23.$

Sea $ \alpha$ la raíz positiva de la ecuación $ x^2 - 1989x - 1 = 0.$ Demuestre que existen infinitos números naturales $ n$ que satisfacen la ecuación: \[ \lfloor \alpha n + 1989 \alpha \lfloor \alpha n \rfloor \rfloor = 1989n + \left( 1989^2 + 1 \right) \lfloor \alpha n \rfloor.\]

Sea $ f$ una función de los números reales a los números reales tal que $ f(1) = 1, f(a+b) = f(a)+f(b)$ para todo $ a, b,$ y $ f(x)f \left( \frac{1}{x} \right) = 1$ para todo $ x \neq 0.$ Demuestre que $ f(x) = x$ para todos los números reales $ x.$

Sea $ f(x) = \prod^n_{k=1} (x - a_k) - 2,$ donde $ n \geq 3$ y $ a_1, a_2, \ldots,$ an son enteros distintos. Suponga que $ f(x) = g(x)h(x),$ donde $ g(x), h(x)$ son ambos polinomios no constantes con coeficientes enteros. Demuestre que $ n = 3.$

Sean $ a, b, c, d,m, n \in \mathbb{Z}^+$ tales que \[ a^2+b^2+c^2+d^2 = 1989,\] \[ a+b+c+d = m^2,\] y el mayor de $ a, b, c, d$ es $ n^2.$ Determine, con prueba, los valores de $m$ y $ n.$

Sea $ t(n)$ para $ n = 3, 4, 5, \ldots,$ represente el número de triángulos distintos, incongruentes, de lados enteros cuyo perímetro es $ n;$ e.g., $ t(3) = 1.$ Pruebe que \[ t(2n-1) - t(2n) = \left[ \frac{6}{n} \right] \text{ o } \left[ \frac{6}{n} + 1 \right].\]

Un cuadrilátero bicéntrico es uno que se puede inscribir y circunscribir alrededor de un círculo, es decir, existen tanto el incírculo como el circuncírculo. Demuestre que para tal cuadrilátero, los centros de los dos círculos asociados son colineales con el punto de intersección de las diagonales.

Sean $ A,B$ dos puntos fijos distintos en el espacio. Sean $ X, P$ puntos variables (en el espacio), mientras que $ K,N, n$ denotan enteros positivos. Llamamos $ (X,K,N,P)$ admisibles si \[ (N - K) \cdot PA + K \cdot PB \geq N \cdot PX.\] Llamamos $ (X,K,N)$ admisibles si $ (X,K,N,P)$ es admisible para todas las elecciones de $ P.$ Llamamos $ (X,N)$ admisibles si $ (X,K,N)$ es admisible para alguna elección de $ K$ en el intervalo $ 0 < K < N.$ Finalmente, llamamos $ X$ admisibles si $ (X,N)$ es admisible para alguna elección de $ N, (N > 1).$ Determine: \n(a) el conjunto de $ X$ admisibles;\n(b) el conjunto de $ X$ para los cuales $ (X, 1989)$ es admisible pero no $ (X, n), n < 1989.$

Sea S el punto de intersección de las dos líneas $ l_1 : 7x - 5y + 8 = 0$ y $ l_2 : 3x + 4y - 13 = 0.$ Sea $ P = (3, 7), Q = (11, 13),$ y sean $ A$ y $ B$ puntos en la línea $ PQ$ tales que $ P$ está entre $ A$ y $ Q,$ y $ B$ está entre $ P$ y $ Q,$ y tal que \[ \frac{PA}{AQ} = \frac{PB}{BQ} = \frac{2}{3}.\] Sin encontrar las coordenadas de $ B$ encuentre las ecuaciones de las líneas $ SA$ y $ SB.$

Sea $ (\log_2(x))^2 - 4 \cdot \log_2(x) - m^2 - 2m - 13 = 0$ una ecuación en $ x.$ Pruebe: \n(a) Para cualquier valor real de $ m$ la ecuación tiene dos soluciones distintas.\n(b) El producto de las soluciones de la ecuación no depende de $ m.$\n(c) Una de las soluciones de la ecuación es menor que 1, mientras que la otra solución es mayor que 1. Encuentre el valor mínimo de la solución más grande y el valor máximo de la solución más pequeña.