Dados dos números distintos $ b_1$ y $ b_2$ , su producto se puede formar de dos maneras: $ b_1 \times b_2$ y $ b_2 \times b_1.$ Dados tres números distintos, $ b_1, b_2, b_3,$ su producto se puede formar de doce maneras: $ b_1\times(b_2 \times b_3);$ $ (b_1 \times b_2) \times b_3;$ $ b_1 \times (b_3 \times b_2);$ $ (b_1 \times b_3) \times b_2;$ $ b_2 \times (b_1 \times b_3);$ $ (b_2 \times b_1) \times b_3;$ $ b_2 \times(b_3 \times b_1);$ $ (b_2 \times b_3)\times b_1;$ $ b_3 \times(b_1 \times b_2);$ $ (b_3 \times b_1)\times b_2;$ $ b_3 \times(b_2 \times b_1);$ $ (b_3 \times b_2) \times b_1.$ ¿De cuántas maneras se puede formar el producto de $ n$ letras distintas?

Las expresiones $ a + b + c, ab + ac + bc,$ y $ abc$ se denominan expresiones simétricas elementales en las tres letras $ a, b, c;$ simétricas porque si intercambiamos dos letras cualesquiera, digamos $ a$ y $ c,$ las expresiones siguen siendo algebraicamente las mismas. El grado común de sus términos se llama orden de la expresión. Sea $ S_k(n)$ denota la expresión elemental en $ k$ letras diferentes de orden $ n;$ por ejemplo $ S_4(3) = abc + abd + acd + bcd.$ Hay cuatro términos en $ S_4(3).$ ¿Cuántos términos hay en $ S_{9891}(1989)?$ (Suponga que tenemos $ 9891$ letras diferentes).

Sean $ A$ y $ B$ puntos fijos distintos en el eje $ X$, ninguno de los cuales coincide con el origen $ O(0, 0),$ y sea $ C$ un punto en el eje $ Y$ de un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Sea $ g$ una línea que pasa por el origen $ O(0, 0)$ y es perpendicular a la línea $ AC.$ Encuentre el lugar geométrico del punto de intersección de las líneas $ g$ y $ BC$ si $ C$ varía a lo largo del eje $ Y$. Dé una ecuación y una descripción del lugar geométrico.

Sea $ f(x) = a \sin^2x + b \sin x + c,$ donde $ a, b,$ y $ c$ son números reales. Encuentre todos los valores de $ a, b$ y $ c$ tales que las siguientes tres condiciones se satisfacen simultáneamente: (i) $ f(x) = 381$ si $ \sin x = \frac{1}{2}.$ (ii) El máximo absoluto de $ f(x)$ es $ 444.$ (iii) El mínimo absoluto de $ f(x)$ es $ 364.$

Sea $ ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que los lados $ AB, AD, BC$ satisfacen $ AB = AD + BC.$ Existe un punto $ P$ dentro del cuadrilátero a una distancia $ h$ de la línea $ CD$ tal que $ AP = h + AD$ y $ BP = h + BC.$ Demuestre que: \[ \frac {1}{\sqrt {h}} \geq \frac {1}{\sqrt {AD}} + \frac {1}{\sqrt {BC}} \]

Alice tiene dos urnas. Cada urna contiene cuatro bolas y en cada bola está escrito un número natural. Ella extrae una bola de cada urna al azar, anota la suma de los números escritos en ellas y vuelve a colocar las bolas en las urnas de las que las sacó. Esto lo repite un gran número de veces. Bill, al examinar los números registrados, observa que la frecuencia con la que ocurre cada suma es la misma que si fuera la suma de dos números naturales extraídos al azar del rango 1 al 4. ¿Qué puede deducir sobre los números de las bolas?

Una secuencia de números reales $ x_0, x_1, x_2, \ldots$ se define de la siguiente manera: $ x_0 = 1989$ y para cada $ n \geq 1$ \[ x_n = - \frac{1989}{n} \sum^{n-1}_{k=0} x_k.\] Calcule el valor de $ \sum^{1989}_{n=0} 2^n x_n.$

Hay n coches esperando en distintos puntos de una pista de carreras circular. En la señal de salida cada coche arranca. Cada coche puede elegir arbitrariamente cuál de las dos direcciones posibles tomar. Cada coche tiene la misma velocidad constante. Cuando dos coches se encuentran, ambos cambian de dirección (pero no de velocidad). Demuestre que en algún momento cada coche está de vuelta en su punto de partida.

Conectando los vértices de un $ n$ - gono regular obtenemos un $ n$ - gono cerrado (no necesariamente convexo). Demuestre que si $ n$ es par, entonces hay dos segmentos paralelos entre los segmentos de conexión y si $ n$ es impar entonces no puede haber exactamente dos segmentos paralelos.

Defina la secuencia $ (a_n)$ por $ \sum_{d|n} a_d = 2^n.$ Demuestre que $ n|a_n.$