Pruebe la identidad \[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{2}{6} + \ldots + \frac{1}{478} + \frac{1}{479} - \frac{2}{480} \n= 2 \cdot \sum^{159}_{k=0} \frac{641}{(161+k) \cdot (480-k)}.\]

Encuentre todos los números cuadrados $S_1$ y $S_2$ tales que $S_1 - S_2 = 1989$.

Dado un triángulo acutángulo, encuentre un punto dentro del triángulo tal que la suma de las distancias desde este punto a los tres vértices sea la menor.

Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que \[ \left(\sqrt{2} + 1 \right)^n = \sqrt{m} + \sqrt{m-1}\] para algún entero positivo $m$.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Sean $D, E, F, M, N$ y $P$ los puntos medios de $BC, CA, AB, FD, FB$ y $DC$ respectivamente.\n(a) Demuestre que los segmentos de línea $AM, EN$ y $FP$ son concurrentes.\n(b) Sea $O$ el punto de intersección de $AM, EN$ y $FP$. Encuentre $OM : OF : ON : OE : OP : OA$.

Sea $ g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $ \omega \in \mathbb{C}$ , $ a \in \mathbb{C}$ , $ \omega^3 = 1$ , y $ \omega \ne 1$ . Muestre que existe una y sólo una función $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que \[ f(z) + f(\omega z + a) = g(z),z\in \mathbb{C} \]

En un triángulo $ ABC$ para el cual $ 6(a+b+c)r^2 = abc$ se cumple y donde $ r$ denota el inradio de $ ABC,$ consideramos un punto M en el círculo inscrito y las proyecciones $ D,E, F$ de $ M$ en los lados $ BC=a, AC=b,$ y $ AB=c$ respectivamente. Sean $ S, S_1$ las áreas de los triángulos $ ABC$ y $ DEF$ respectivamente. Encuentre los valores máximo y mínimo del cociente $ \frac{S}{S_1}$

Sea $ L$ el conjunto de todos los puntos reticulares del plano (puntos con coordenadas enteras). Demuestre que para cualesquiera tres puntos $ A,B,C$ de $ L$ existe un cuarto punto $ D,$ diferente de $ A,B,C,$ tal que los interiores de los segmentos $ AD,BD,CD$ no contienen puntos de $ L.$ ¿Es cierto el enunciado si se consideran cuatro puntos de $ L$ en lugar de tres?

Sean $ b_1, b_2, \ldots, b_{1989}$ números reales positivos tales que las ecuaciones \[ x_{r-1} - 2x_r + x_{r+1} + b_rx_r = 0 \quad (1 \leq r \leq 1989)\] tienen una solución con $ x_0 = x_{1989} = 0$ pero no todos los $ x_1, \ldots, x_{1989}$ son iguales a cero. Pruebe que \[ \sum^{1989}_{k=1} b_k \geq \frac{2}{995}.\]

Los enteros $ c_{m,n}$ con $ m \geq 0, n \geq 0$ están definidos por \[ c_{m,0} = 1 \quad \forall m \geq 0, c_{0,n} = 1 \quad \forall n \geq 0,\] y \[ c_{m,n} = c_{m-1,n} - n \cdot c_{m-1,n-1} \quad \forall m > 0, n > 0.\] Pruebe que \[ c_{m,n} = c_{n,m} \quad \forall m > 0, n > 0.\]