Encuentra todas las funciones $ f: \mathbb{N^{*}}\to \mathbb{N^{*}}$ que satisfacen\n\[ \left(f^{2}\left(m\right)+f\left(n\right)\right) \mid \left(m^{2}+n\right)^{2}\]\npara cualesquiera dos enteros positivos $ m$ y $ n$ .\nObservación. La abreviatura $ \mathbb{N^{*}}$ significa el conjunto de todos los enteros positivos: $ \mathbb{N^{*}}=\left\{1,2,3,...\right\}$ . Por $ f^{2}\left(m\right)$ , queremos decir $ \left(f\left(m\right)\right)^{2}$ (y no $ f\left(f\left(m\right)\right)$ ) .

La función $f$ del conjunto $ \mathbb{N}$ de enteros positivos en sí mismo se define por la igualdad\n\[f(n)=\sum_{k=1}^{n} \gcd(k,n),\qquad n\in \mathbb{N}.\]\na) Demostrar que $f(mn)=f(m)f(n)$ para cada par de números primos relativos ${m,n\in\mathbb{N}}$ .\nb) Demostrar que para cada $a\in\mathbb{N}$ la ecuación $f(x)=ax$ tiene una solución.\nc) Encontrar todos los ${a\in\mathbb{N}}$ tales que la ecuación $f(x)=ax$ tiene una solución única.

Sea $ \tau(n)$ el número de divisores positivos del entero positivo $n$ . Demostrar que existen infinitos enteros positivos $a$ tales que la ecuación $ \tau(an)=n $ no tiene solución entera positiva $n$ .

Dado un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , sea $M$ el punto medio del lado $CD$ , y sea $N$ un punto en la circunferencia circunscrita del triángulo $ABM$ . Asuma que el punto $N$ es diferente del punto $M$ y satisface $\frac{AN}{BN}=\frac{AM}{BM}$ . Pruebe que los puntos $E$ , $F$ , $N$ son colineales, donde $E=AC\cap BD$ y $F=BC\cap DA$ .

Para un triángulo dado $ ABC$ , sea $ X$ un punto variable en la línea $ BC$ tal que $ C$ se encuentra entre $ B$ y $ X$ y las circunferencias inscritas de los triángulos $ ABX$ y $ ACX$ se intersecan en dos puntos distintos $ P$ y $ Q.$ Pruebe que la línea $ PQ$ pasa por un punto independiente de $ X$ .

Si $a$ , $b$ , $c$ son tres números reales positivos tales que $ab+bc+ca = 1$ , demostrar que \[ \sqrt[3]{ \frac{1}{a} + 6b} + \sqrt[3]{\frac{1}{b} + 6c} + \sqrt[3]{\frac{1}{c} + 6a } \leq \frac{1}{abc}. \]

$A$ y $B$ juegan un juego, dado un entero $N$ , $A$ escribe $1$ primero, luego cada jugador ve el último número escrito y si es $n$ entonces en su turno escribe $n+1$ o $2n$ , pero su número no puede ser mayor que $N$ . El jugador que escribe $N$ gana. ¿Para qué valores de $N$ gana $B$?

Considera una matriz de tamaño $n\times n$ cuyas entradas son números reales de valor absoluto no superior a $1$ . La suma de todas las entradas de la matriz es $0$ . Sea $n$ un entero positivo par. Determine el número más pequeño $C$ tal que cada matriz de este tipo tenga necesariamente una fila o una columna con la suma de sus entradas no superior a $C$ en valor absoluto.

Sea $O$ el circuncentro de un triángulo acutángulo $ABC$ con ${\angle B<\angle C}$ . La línea $AO$ se encuentra con el lado $BC$ en $D$ . Los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ son $E$ y $F$ , respectivamente. Extienda los lados $BA$ y $CA$ más allá de $A$ , y elija en las respectivas extensiones los puntos $G$ y $H$ tales que ${AG=AC}$ y ${AH=AB}$ . Demuestre que el cuadrilátero $EFGH$ es un rectángulo si y solo si ${\angle ACB-\angle ABC=60^{\circ }}$ .

Sean ${n}$ y $k$ enteros positivos. Se dan ${n}$ círculos en el plano. Cada dos de ellos se intersecan en dos puntos distintos, y todos los puntos de intersección que determinan son distintos entre sí (es decir, no hay tres círculos que tengan un punto en común). Ningún círculo tiene un punto en común. Cada punto de intersección debe ser coloreado con uno de los $n$ colores distintos de modo que cada color se use al menos una vez y exactamente $k$ colores distintos aparezcan en cada círculo. Encuentra todos los valores de $n\geq 2$ y $k$ para los cuales tal coloración es posible.