Para una matriz ${n\times n}$ $A$ , sea $X_{i}$ el conjunto de entradas en la fila $i$ , y $Y_{j}$ el conjunto de entradas en la columna $j$ , ${1\leq i,j\leq n}$ . Decimos que $A$ es dorada si ${X_{1},\dots ,X_{n},Y_{1},\dots ,Y_{n}}$ son conjuntos distintos. Encuentre el entero más pequeño $n$ tal que exista una matriz dorada de ${2004\times 2004}$ con entradas en el conjunto ${\{1,2,\dots ,n\}}$ .

La siguiente operación está permitida en un grafo finito: Elige un ciclo arbitrario de longitud 4 (si existe alguno), elige una arista arbitraria en ese ciclo y elimínala del grafo. Para un entero fijo ${n\ge 4}$ , encuentra el número mínimo de aristas de un grafo que se puede obtener mediante aplicaciones repetidas de esta operación a partir del grafo completo de $n$ vértices (donde cada par de vértices están unidos por una arista).

¿Existe una función $s\colon \mathbb{Q} \rightarrow \{-1,1\}$ tal que si $x$ e $y$ son números racionales distintos que satisfacen ${xy=1}$ o ${x+y\in \{0,1\}}$ , entonces ${s(x)s(y)=-1}$ ? Justifica tu respuesta.

Sean $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... una secuencia infinita de números reales que satisfacen la ecuación $a_n=\left|a_{n+1}-a_{n+2}\right|$ para todo $n\geq 0$ , donde $a_0$ y $a_1$ son dos números reales positivos diferentes. ¿Puede esta secuencia $a_0$ , $a_1$ , $a_2$ , ... estar acotada?

Sea $n \geq 3$ un entero. Sean $t_1$ , $t_2$ , ..., $t_n$ números reales positivos tales que \[n^2 + 1 > \left( t_1 + t_2 + \cdots + t_n \right) \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} + \cdots + \frac{1}{t_n} \right).\] Demuestre que $t_i$ , $t_j$ , $t_k$ son longitudes de los lados de un triángulo para todo $i$ , $j$ , $k$ con $1 \leq i < j < k \leq n$ .

Sean ${a_1,a_2,\dots,a_n}$ números reales positivos, ${n>1}$ . Denotemos por $g_n$ su media geométrica, y por $A_1,A_2,\dots,A_n$ la secuencia de medias aritméticas definidas por \[ A_k=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k},\qquad k=1,2,\dots,n. \] Sea $G_n$ la media geométrica de $A_1,A_2,\dots,A_n$ . Demostrar la desigualdad \[ n \root n\of{\frac{G_n}{A_n}}+ \frac{g_n}{G_n}\le n+1 \] y establecer los casos de igualdad.

Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen la ecuación \[ f(x^2+y^2+2f(xy)) = (f(x+y))^2. \] para todo $x,y \in \mathbb{R}$ .

Dado un entero ${n>1}$ , denotemos por $P_{n}$ el producto de todos los enteros positivos $x$ menores que $n$ y tales que $n$ divide a ${x^2-1}$ . Para cada ${n>1}$ , hallar el resto de $P_{n}$ al dividir por $n$ .

Llamamos entero positivo alternante si cada dos dígitos consecutivos en su representación decimal son de diferente paridad. Hallar todos los enteros positivos $n$ tales que $n$ tiene un múltiplo que es alternante.

Encuentra todos los polinomios $f$ con coeficientes reales tales que para todos los reales $a,b,c$ tales que $ab+bc+ca = 0$ tenemos las siguientes relaciones \[ f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c). \]