Sea $n$ un entero positivo y $u_1,u_2,\cdots ,u_n$ sean enteros positivos no mayores que $2^k, $ para algún entero $k\geq 3.$ Una representación de un entero no negativo $t$ es una secuencia de enteros no negativos $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ tal que $t=a_1u_1+a_2u_2+\cdots +a_nu_n.$ Demuestre que si un entero no negativo $t$ tiene una representación, entonces también tiene una representación donde menos de $2k$ de los números $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ son distintos de cero.

Un grupo de piratas tuvo una discusión y no cada uno de ellos apunta a otros dos a punta de pistola.Todos los piratas son llamados uno por uno en algún orden.Si el pirata llamado todavía está vivo, dispara a ambos piratas a los que apunta (algunos de los cuales podrían ya estar muertos). Todos los disparos son inmediatamente letales. Después de que todos los piratas han sido llamados, resulta que exactamente $28$ piratas murieron. Demuestre que si los piratas fueron llamados en cualquier otro orden, al menos $10$ piratas habrían muerto de todos modos.

Sea $P(x)$ un polinomio de grado $n\geq 2$ con coeficientes racionales tal que $P(x) $ tiene $ n$ raíces reales por pares diferentes que forman una progresión aritmética .Demuestre que entre las raíces de $P(x) $ hay dos que también son las raíces de algún polinomio de grado $2$ con coeficientes racionales .

Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos que satisfacen $abc=1.$ Demuestre que $$\frac{a^2-b^2}{a+bc}+\frac{b^2-c^2}{b+ca}+\frac{c^2-a^2}{c+ab}\leq a+b+c-3.$$

(a) Demuestre que para cada entero positivo $m$ existe un entero $n\ge m$ tal que $$\left \lfloor \frac{n}{1} \right \rfloor \cdot \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \cdots \left \lfloor \frac{n}{m} \right \rfloor =\binom{n}{m} \\\\\\\\ (*)$$ (b) Denotemos por $p(m)$ el entero más pequeño $n \geq m$ tal que la ecuación $ (*)$ se cumple. Demuestre que $p(2018) = p(2019).$ Observación: Para un número real $x,$ denotamos por $\left \lfloor x \right \rfloor$ el entero más grande no mayor que $x.$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A.$ Sean $R$ y $Q$ los centroides de los triángulos $ABD$ y $ACD$ , respectivamente. Sea $P$ un punto en el segmento de línea $BC$ tal que $P \neq D$ y los puntos $P$ $Q$ $R$ y $D$ son concíclicos. Demuestre que las líneas $AP$ $BQ$ y $CR$ son concurrentes.

Las dos figuras que se muestran a continuación, que constan de $6$ y $10$ cuadrados unitarios, respectivamente, se denominan escaleras. Considere un tablero de $2018\times 2018$ que consta de $2018^2$ celdas, cada una de las cuales es un cuadrado unitario. Se eliminaron dos celdas arbitrarias de la misma fila del tablero. Demuestre que el resto del tablero no se puede cortar (a lo largo de los bordes de las celdas) en escaleras (posiblemente rotadas).

Sea $Q^+$ el conjunto de todos los números racionales positivos y sea $\alpha\in Q^+.$ Determine todas las funciones $f:Q^+ \to (\alpha,+\infty )$ que satisfacen $$f(\frac{ x+y}{\alpha}) =\frac{ f(x)+f(y)}{\alpha}$$ para todo $x,y\in Q^+ .$

Para un grafo finito $G$ , sea $f(G)$ el número de triángulos y $g(G)$ el número de tetraedros formados por aristas de $G$ . Encuentre la menor constante $c$ tal que \[g(G)^3\le c\cdot f(G)^4\] para cada grafo $G$ .

Define un 'gancho' como una figura compuesta por seis cuadrados unitarios como se muestra en la imagen de abajo, o cualquiera de las figuras obtenidas aplicando rotaciones y reflexiones a esta figura. [asy]\nunitsize(0.5 cm);\n\ndraw((0,0)--(1,0));\ndraw((0,1)--(1,1));\ndraw((2,1)--(3,1));\ndraw((0,2)--(3,2));\ndraw((0,3)--(3,3));\ndraw((0,0)--(0,3));\ndraw((1,0)--(1,3));\ndraw((2,1)--(2,3));\ndraw((3,1)--(3,3));\n[/asy] Determine todos los rectángulos de $ m\times n$ que pueden ser cubiertos sin huecos y sin superposiciones con ganchos de tal manera que - el rectángulo esté cubierto sin huecos y sin superposiciones - ninguna parte de un gancho cubra área fuera del rectángulo.