Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Denotemos por $B_0$ y $C_0$ los pies de las alturas desde los vértices $B$ y $C$, respectivamente. Sea $X$ un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que la línea $BX$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXC_0$ y la línea $CX$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXB_0$. Demuestra que la línea $AX$ es perpendicular a $BC$.

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo con los cinco lados iguales en longitud. Las diagonales $AD$ y $EC$ se encuentran en $S$ con $\angle ASE = 60^\circ$. Demuestra que $ABCDE$ tiene un par de lados paralelos.

Sea $n \geq 3$ un entero. En una competencia tipo MEMO, hay $3n$ participantes, se hablan $n$ idiomas, y cada participante habla exactamente tres idiomas diferentes. Demuestra que al menos $\left\lceil\frac{2n}{9}\right\rceil$ de los idiomas hablados pueden ser elegidos de tal manera que ningún participante hable más de dos de los idiomas elegidos. Nota. $\lceil x\rceil$ es el entero más pequeño que es mayor o igual que $x$.

Para un entero $n \geq 3$, sea $\mathcal M$ el conjunto $\{(x, y) | x, y \in \mathbb Z, 1 \leq x \leq n, 1 \leq y \leq n\}$ de puntos en el plano. ¿Cuál es el número máximo posible de puntos en un subconjunto $S \subseteq \mathcal M$ que no contiene tres puntos distintos que sean los vértices de un triángulo rectángulo?

Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que \[\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}=2.\] Demuestra que \[\frac{\sqrt a + \sqrt b+\sqrt c}{2} \geq \frac{1}{\sqrt a}+\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt c}.\]

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb R \to \mathbb R$ tales que la igualdad \[y^2f(x) + x^2f(y) + xy = xyf(x + y) + x^2 + y^2\] se cumple para todos los $x, y \in \Bbb R$, donde $\Bbb R$ es el conjunto de los números reales.

Un entero $n $ se llama silesiano si existen enteros positivos $a,b$ y $c$ tales que $$n=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}.$$ $(a)$ demuestre que hay infinitos enteros silesianos. $(b)$ demuestre que no todo entero positivo es silesiano.

Sea $a_1,a_2,a_3,\cdots$ la secuencia de enteros positivos tales que $$a_1=1 , a_{k+1}=a^3_k+1, $$ para todos los enteros positivos $k.$ Demuestre que para cada número primo $p$ de la forma $3l +2,$ donde $l$ es un entero no negativo ,existe un entero positivo $n$ tal que $a_n$ es divisible por $p.$

Sea $ABC$ un triángulo . La bisectriz interna de $ABC$ interseca al lado $AC$ en $ L$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$ nuevamente en $W \neq B.$ Sea $K$ la proyección perpendicular de $L$ sobre $AW.$ la circunferencia circunscrita de $BLC$ interseca la línea $CK$ nuevamente en $P \neq C.$ Las líneas $BP$ y $AW$ se encuentran en el punto $T.$ Demuestre que $$AW=WT.$$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<AC,$ y sea $D$ el pie de su altura desde $A,$ los puntos $B'$ y $C'$ se encuentran en los rayos $AB$ y $AC,$ respectivamente, de modo que los puntos $B',$ $C'$ y $D$ son colineales y los puntos $B,$ $C,$ $B'$ y $C'$ se encuentran en un círculo con centro $O.$ Demuestre que si $M$ es el punto medio de $BC$ y $H$ es el ortocentro de $ABC,$ entonces $DHMO$ es un paralelogramo.