Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 60^o$. Los puntos $M,N,K$ se encuentran en $BC,AC,AB$ respectivamente tales que $BK = KM = MN = NC$. Si $AN = 2AK$, encuentre los valores de $\angle B$ y $\angle C$.

Tenemos cuatro triángulos de madera con lados de $3, 4, 5$ centímetros. ¿Cuántos polígonos convexos podemos hacer con todos estos triángulos? (Simplemente dibuja los polígonos sin ninguna demostración) Un polígono convexo es un polígono en el que todos sus ángulos son menores que $180^o$ y no hay ningún agujero en él. Por ejemplo: //cdn.artofproblemsolving.com/images/7/5/4/7545261bf092f2c843dcb006847dda80e25acedc.png

Sea $\alpha>1$ un número real tal que la sucesión $a_n=\alpha\lfloor \alpha^n\rfloor- \lfloor \alpha^{n+1}\rfloor$ , con $n\geq 1$ , es periódica, es decir, existe un entero positivo $p$ tal que $a_{n+p}=a_n$ para todo $n$ . Demostrar que $\alpha$ es un entero.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB<AC$ y circuncírculo $\omega$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $AB$ respectivamente y $G$ es el baricentro de $ABC$ . Sea $P$ el pie de la perpendicular de $A$ a la recta $BC$ , y el punto $Q$ es la intersección de $GP$ y $\omega$ ( $Q,P,G$ son colineales en este orden). La recta $QM$ corta a $\omega$ en $M_1$ y la recta $QN$ corta a $\omega$ en $N_1$ . Si $K$ es la intersección de $BM_1$ y $CN_1$ demostrar que $P$ , $G$ y $K$ son colineales.

Demostrar que existen infinitas ternas $(a,b,c)$ de enteros positivos $a,b,c>1$ , $gcd(a,b)=gcd(b,c)=gcd(c,a)=1$ tales que $a+b+c$ divide a $a^b+b^c+c^a$.

En el diccionario canino las palabras son cualquier secuencia de letras $A$ y $U$ por ejemplo $AA$ , $UAU$ y $AUAU$ . Para cada palabra, su 'profundidad' será la cantidad de subpalabras que podemos obtener mediante la eliminación de algunas letras. Para cada entero positivo $n$ , determine la mayor 'profundidad' de palabra, en el diccionario canino, que puede tener con $n$ letras. Nota: La palabra $AAUUA$ tiene 'profundidad' $14$ porque sus subpalabras son $A, U, AU, AA, UU, UA, AUU, UUA, AAU, AUA, AAA, AAUU, AAUA, AUUA$.

Hallar todas las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que $f(f(x)^2+f(y^2))=(x-y)f(x-f(y))$

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular, en los lados $AB$ , $CD$ , $DE$ y $FA$ elegimos cuatro puntos $P,Q,R$ y $S$ respectivamente, tales que $PQRS$ es un cuadrado. Demostrar que $PQ$ y $BC$ son paralelos.

Llamamos a un entero positivo $n$ asombroso si existen enteros positivos $a, b, c$ tales que la igualdad \[n = (b, c)(a, bc) + (c, a)(b, ca) + (a, b)(c, ab)\] se cumple. Demuestra que existen $2011$ enteros positivos consecutivos que son asombrosos. Nota. Por $(m, n)$ denotamos el máximo común divisor de los enteros positivos $m$ y $n$.

Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos disjuntos con $A \cup B = \{1, 2,3, \ldots, 10\}$. Demuestra que existen elementos $a \in A$ y $b \in B$ tales que el número $a^3 + ab^2 + b^3$ es divisible por $11$.