Demuestre que existen infinitos pares de enteros positivos $(m,n)$ , con $m<n$ , tal que $m$ divide a $n^{2016}+n^{2015}+\dots+n^2+n+1$ y $n$ divide a $m^{2016}+m^{2015} +\dots+m^2+m+1$ .

Uno tiene $n$ círculos distintos (con el mismo radio) tal que para cualquier $k+1$ círculos hay (al menos) dos círculos que se intersecan en dos puntos. Demuestre que para cada línea $l$ uno puede hacer $k$ líneas, cada una paralela a $l$ , tal que cada círculo tiene (al menos) un punto de intersección con alguna de estas líneas.

Sea $a$ un entero positivo fijo. Encuentre el entero más grande $b$ tal que $(x+a)(x+b)=x+a+b$ , para algún entero $x$ .

Encuentra todos los $a , b , c \in \mathbb{N}$ para los cuales \[1997^a+15^b=2012^c\]

Si $a$ , $b$ , $c$ , $d$ son enteros y $A=2(a-2b+c)^4+2(b-2c+a)^4+2(c-2a+b)^4$ , $B=d(d+1)(d+2)(d+3)+1$ , entonces prueba que $\left (\sqrt{A}+1 \right )^2 +B$ no puede ser un cuadrado perfecto.

Encuentra todos los enteros positivos $x,y,z$ y $t$ tales que $2^x3^y+5^z=7^t$ .

Determina todas las ternas $(m , n , p)$ que satisfacen : \[n^{2p}=m^2+n^2+p+1\] donde $m$ y $n$ son enteros y $p$ es un número primo.

Descifra la igualdad : \[(\overline{VER}-\overline{IA})=G^{R^E} (\overline {GRE}+\overline{ECE}) \] asumiendo que el número $\overline {GREECE}$ tiene un valor máximo . Cada letra corresponde a un dígito único de $0$ a $9$ y letras diferentes corresponden a dígitos diferentes . También se supone que todas las letras $G$ , $E$ , $V$ y $I$ son diferentes de $0$ .

¿Existen números primos $p$ y $q$ tales que $p^2(p^3-1)=q(q+1)$ ?

Si $a$ , $b$ son enteros y $s=a^3+b^3-60ab(a+b)\geq 2012$ , encuentra el menor valor posible de $s$ .