Un par ordenado $(x, y)$ de enteros es un punto primitivo si el máximo común divisor de $x$ e $y$ es $1$. Dado un conjunto finito $S$ de puntos primitivos, pruebe que existe un entero positivo $n$ y enteros $a_0, a_1, \ldots , a_n$ tales que, para cada $(x, y)$ en $S$, tenemos:\n$$a_0x^n + a_1x^{n-1} y + a_2x^{n-2}y^2 + \cdots + a_{n-1}xy^{n-1} + a_ny^n = 1.$$\n

Se da un entero $N \ge 2$. Una colección de $N(N + 1)$ jugadores de fútbol, ​​ninguno de los cuales tiene la misma altura, se paran en una fila. Sir Alex quiere quitar $N(N - 1)$ jugadores de esta fila, dejando una nueva fila de $2N$ jugadores en la que se cumplen las siguientes $N$ condiciones:\n( $1$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más altos,\n( $2$ ) nadie se interpone entre el tercer y cuarto jugador más alto, $\;\;\vdots$\n( $N$ ) nadie se interpone entre los dos jugadores más bajos. Demuestre que esto siempre es posible.

Sean $R$ y $S$ puntos diferentes en un círculo $\Omega$ tales que $RS$ no es un diámetro. Sea $\ell$ la línea tangente a $\Omega$ en $R$. El punto $T$ es tal que $S$ es el punto medio del segmento de línea $RT$. El punto $J$ se elige en el arco más corto $RS$ de $\Omega$ de modo que el circuncírculo $\Gamma$ del triángulo $JST$ interseca a $\ell$ en dos puntos distintos. Sea $A$ el punto común de $\Gamma$ y $\ell$ que está más cerca de $R$. La línea $AJ$ se encuentra con $\Omega$ nuevamente en $K$. Demuestre que la línea $KT$ es tangente a $\Gamma$.

Un cazador y un conejo invisible juegan un juego en el plano euclidiano. El punto de partida del conejo, $A_0,$ y el punto de partida del cazador, $B_0$ son el mismo. Después de $n-1$ rondas del juego, el conejo está en el punto $A_{n-1}$ y el cazador está en el punto $B_{n-1}.$ En la $n^{\text{th}}$ ronda del juego, tres cosas ocurren en orden: El conejo se mueve invisiblemente a un punto $A_n$ tal que la distancia entre $A_{n-1}$ y $A_n$ es exactamente $1.$ Un dispositivo de rastreo reporta un punto $P_n$ al cazador. La única garantía proporcionada por el dispositivo de rastreo al cazador es que la distancia entre $P_n$ y $A_n$ es a lo sumo $1.$ El cazador se mueve visiblemente a un punto $B_n$ tal que la distancia entre $B_{n-1}$ y $B_n$ es exactamente $1.$ ¿Es siempre posible, sin importar cómo se mueva el conejo, y sin importar qué puntos sean reportados por el dispositivo de rastreo, para el cazador elegir sus movimientos de manera que después de $10^9$ rondas, pueda asegurar que la distancia entre ella y el conejo sea a lo sumo $100?$

Sea $\mathbb{R}$ el conjunto de los números reales. Determine todas las funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ tales que, para cualesquiera números reales $x$ e $y$,\n$$ f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy). $$\n

Para cada entero $a_0 > 1$, define la secuencia $a_0, a_1, a_2, \ldots$ para $n \geq 0$ como\n$$a_{n+1} = \n\begin{cases}\n\sqrt{a_n} & \text{si } \sqrt{a_n} \text{ es un entero,} \\\na_n + 3 & \text{en otro caso.}\n\end{cases}\n$$\nDetermine todos los valores de $a_0$ tales que existe un número $A$ tal que $a_n = A$ para infinitos valores de $n$.

Para $m = 1, 2, 3, ...$ denotar $S(m)$ la suma de los dígitos de $m$ , y sea $f(m)=m+S(m)$ . Muestre que para cada entero positivo $n$ , existe un número que aparece exactamente $n$ veces en la secuencia $f(1),f(2),...,f(m),...$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con centroide $G$ , la bisectriz del ángulo $\angle ABC$ interseca a $AC$ en $D$ . Sean $P$ y $Q$ puntos en $BD$ donde $\angle PBA = \angle PAB$ y $\angle QBC = \angle QCB$ . Sea $M$ el punto medio de $QP$ , sea $N$ un punto en la línea $GM$ tal que $GN = 2GM$ ( donde $G$ es el segmento $MN$ ) , demuestre que: $\angle ANC + \angle ABC = 180$

Hallar todas las funciones $f: R \to R$ tales que, para cualquier $x, y \in R$ : $f\left( f\left( x \right)-y \right)\cdot f\left( x+f\left( y \right) \right)={{x}^{2}}-{{y}^{2}}$

Para cada entero $n > 1$ , la sucesión $\left( {{S}_{n}} \right)$ se define por ${{S}_{n}}=\left\lfloor {{2}^{n}}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}\_{n\ radicals} \right\rfloor $ donde $\left\lfloor x \right\rfloor$ denota la función piso de $x$ . Demuestre que ${{S}_{2001}}=2\,{{S}_{2000}}+1$ .