Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $A_1, B_1$ y $C_1$ , puntos en los lados $BC, CA$ y $AB$ , respectivamente, tales que $CB_1 = A_1B_1$ y $BC_1 = A_1C_1$ . Sea $D$ el simétrico de $A_1$ con respecto a $B_1C_1, O$ y $O_1$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ y $A_1B_1C_1$ , respectivamente. Si $A \ne D, O \ne O_1$ y $AD$ es perpendicular a $OO_1$ , demuestre que $AB = AC$ .

Hallar todos los números enteros $a, b, m$ y $n$ , tales que las siguientes dos igualdades se verifican: $a^2+b^2=5mn$ y $m^2+n^2=5ab$

Demostrar que cualquier potencia positiva de $2$ se puede escribir como: $$5xy-x^2-2y^2$$ donde $x$ e $y$ son números impares.

Una secuencia numérica se llama lusófona si satisface las siguientes tres condiciones: \ni) El primer término de la secuencia es el número $1$. \nii) Para obtener el siguiente término de la secuencia podemos multiplicar el término anterior por un número primo positivo ( $2,3,5,7,11, ...$ ) o sumar $1$. \niii) El último término de la secuencia es el número $2016$. Por ejemplo: $1\overset{{\times 11}}{\to}11 \overset{{\times 61}}{\to} 671 \overset{{+1}}{\to}672 \overset{{\times 3}}{\to}2016$ ¿Cuántas secuencias lusófonas existen en las que (como en el ejemplo anterior) la operación de sumar $1$ se utilizó exactamente una vez y no se multiplicó dos veces por el mismo número primo?

$8$ equipos de fútbol de la CPLP compitieron en un campeonato en el que cada equipo jugó una y sólo una vez con cada uno de los demás equipos. En el fútbol, cada victoria vale $3$ puntos, cada empate vale $1$ punto y el equipo derrotado no marca. En ese campeonato, cuatro equipos quedaron en primer lugar con $15$ puntos y los otros cuatro quedaron en segundo lugar con $N$ puntos cada uno. Sabiendo que hubo $12$ empates en todo el campeonato, determine $N$.

Suponga que un número real $a$ es una raíz de un polinomio con coeficientes enteros $P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$. Sea $G=|a_n|+|a_{n-1}|+...+|a_1|+|a_0|$. Decimos que $G$ es un 'gingado' de $a$. Por ejemplo, como $2$ es raíz de $P(x)=x^2-x-2$, $G=|1|+|-1|+|-2|=4$, decimos que $4$ es un 'gingado' de $2$. ¿Cuál es el cuarto número real $a$ más grande tal que $3$ es un 'gingado' de $a$?

El círculo $\omega_1$ intersecta al círculo $\omega_2$ en los puntos $A$ y $B$, una línea tangente a estos círculos intersecta a $\omega_1$ y $\omega_2$ en los puntos $E$ y $F$ respectivamente. Suponga que $A$ está dentro del triángulo $BEF$, sea $H$ el ortocentro de $BEF$ y $M$ el punto medio de $BH$. Demuestre que los centros de los círculos $\omega_1$ y $\omega_2$ y el punto $M$ son colineales.

Consideremos $10$ enteros positivos distintos que son primos entre sí (es decir, no hay un factor primo común a todos), pero tales que dos cualesquiera de ellos no son primos entre sí. ¿Cuál es el número más pequeño de factores primos distintos que pueden aparecer en el producto de los $10$ números?

Demostrar que para cada entero positivo $n$ , existe un entero positivo $k$ tal que la representación decimal de cada uno de los números $k, 2k,\ldots, nk$ contiene todos los dígitos $0, 1, 2,\ldots, 9$ .

Sea $ABCDE$ un pentágono convexo que satisface todo lo siguiente: Hay un círculo $\Gamma$ tangente a cada uno de los lados. Las longitudes de los lados son todos enteros positivos. Al menos uno de los lados del pentágono tiene longitud $1$ . El lado $AB$ tiene longitud $2$ . Sea $P$ el punto de tangencia de $\Gamma$ con $AB$ . (a) Determinar las longitudes de los segmentos $AP$ y $BP$ . (b) Dar un ejemplo de un pentágono que satisfaga las condiciones dadas.