Algunas celdas de una tabla de $2007\times 2007$ están coloreadas. La tabla es charrúa si ninguna de las filas y ninguna de las columnas están completamente coloreadas. (a) ¿Cuál es el número máximo $k$ de celdas coloreadas que puede tener una tabla charrúa? (b) Para tal $k$ , calcular el número de tablas charrúas distintas que existen.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con alturas $AD$ , $BE$ , $CF$ donde $D$ , $E$ , $F$ están en $BC$ , $AC$ , $AB$ , respectivamente. Sea $M$ el punto medio de $BC$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $AEF$ corta la línea $AM$ en $A$ y $X$ . La línea $AM$ corta la línea $CF$ en $Y$ . Sea $Z$ el punto de intersección de $AD$ y $BX$ . Demostrar que las líneas $YZ$ y $BC$ son paralelas.

Se dan $100$ enteros positivos cuya suma es igual a su producto. Determinar el número mínimo de $1$ que pueden aparecer entre los $100$ números.

Hallar todos los pares $(x,y)$ de enteros no negativos que satisfacen \[x^3y+x+y=xy+2xy^2.\]

Cuatro sabios están de pie alrededor de un baobab no transparente. Cada uno de los sabios lleva un sombrero rojo, azul o verde. Un sabio solo ve a sus dos vecinos. Cada uno de ellos al mismo tiempo debe adivinar el color de su sombrero. Si al menos un sabio adivina correctamente, los sabios ganan. Podrían consultar antes de que comenzara el juego. ¿Cómo deberían actuar para ganar?

$CL$ es la bisectriz de $\angle C$ de $ABC$ e interseca a la circunferencia circunscrita en $K$. $I$ es el incentro de $ABC$. $IL=LK$. Demuestra que $CI=IK$.

¿Existe una secuencia $(a_n)$ de números naturales, tal que las diferencias $\{a_{n+1}-a_n\}$ tomen cada valor natural y solo una vez, y las diferencias $\{a_{n+2}-a_n\}$ tomen cada valor natural mayor que $2015$ y solo una vez?

Hay un número natural $n>1$ en la pizarra. La operación consiste en sumar al número en la pizarra su máximo divisor no trivial. Demuestra que después de algunas operaciones obtenemos un número que es divisible por $3^{2000}$.

Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que en la representación decimal de cada uno de los números $\sqrt{n}$ , $\sqrt[3]{n},..., \sqrt[10]{n}$ los dígitos $2015$ aparecen inmediatamente después del punto decimal.

$D$ es el punto medio de $AC$ para $\triangle ABC$. Las bisectrices de $\angle ACB, \angle ABD$ son perpendiculares. Encuentra el valor máximo para $\angle BAC$.