La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 8:22 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Un número natural dado $N$ se descompone en una suma de algunos enteros consecutivos. a.) Encuentre todas esas descomposiciones para $N=500.$ b.) ¿Cuántas de esas descomposiciones tiene el número $N=2^{\alpha }3^{\beta }5^{\gamma }$ (donde $\alpha ,$ $\beta $ y $\gamma $ son números naturales)? ¿Cuáles de estas descomposiciones contienen solo sumandos naturales? c.) Determine el número de tales descomposiciones (= descomposiciones en una suma de enteros consecutivos; estos enteros no son necesariamente naturales) para un $N$ natural arbitrario. Nota de Darij: El $0$ no se considera un número natural. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 25 de sep. de 2010, 12:27 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se nos da una bolsa de azúcar, una balanza de dos platillos y un peso de $1$ gramo. ¿Cómo obtenemos $1$ kilogramo de azúcar en el menor número posible de pesadas? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 6:46 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $P$ y $P^{\prime }$ dos paralelogramos con igual área, y sean sus longitudes de lado $a,$ $b$ y $a^{\prime },$ $b^{\prime }.$ Suponga que $a^{\prime }\leq a\leq b\leq b^{\prime },$ y además, que es posible colocar el segmento $b^{\prime }$ de tal manera que se encuentre completamente en el interior del paralelogramo $P.$ Demuestre que el paralelogramo $P$ puede ser particionado en cuatro polígonos tales que estos cuatro polígonos puedan ser recompuestos para formar el paralelogramo $P^{\prime }.$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 27 de sep. de 2010, 12:12 p. m. • 1 Y Y por Adventure10 Tres caras de un tetraedro son triángulos rectángulos, mientras que la cuarta no es un triángulo obtusángulo. (a) Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la cuarta cara sea un triángulo rectángulo es que en algún vértice haya exactamente dos ángulos rectos. (b) Demuestre que si todas las caras son triángulos rectángulos, entonces el volumen del tetraedro es igual a un sexto del producto de las tres aristas más pequeñas que no pertenecen a la misma cara. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 27 de sep. de 2010, 12:08 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Demuestre que el volumen $V$ y el área lateral $S$ de un cono circular recto satisfacen la desigualdad \[\left( \frac{6V}{\pi}\right)^2 \leq \left( \frac{2S}{\pi \sqrt 3}\right)^3\] ¿Cuándo ocurre la igualdad? Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 29 de sep. de 2010, 7:21 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dos paredes de espejo están colocadas para formar un ángulo de medida $\alpha$. Hay una vela dentro del ángulo. ¿Cuántas reflexiones de la vela puede ver un observador? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 6:35 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dados tres rectángulos congruentes en el espacio. Sus centros coinciden, pero los planos en los que se encuentran son mutuamente perpendiculares. Para cualesquiera dos de los tres rectángulos, la línea de intersección de los planos de estos dos rectángulos contiene una paralela media de un rectángulo y una paralela media del otro rectángulo, y estas dos paralelas medias tienen longitudes diferentes. Considere el poliedro convexo cuyos vértices son los vértices de los rectángulos. a.) ¿Cuál es el volumen de este poliedro? b.) ¿Puede este poliedro resultar ser un poliedro regular? En caso afirmativo, ¿cuál es la condición para que este poliedro sea regular? Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 6:29 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $ ''.) Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 27 de sep. de 2010, 11:51 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Se nos da un círculo $K$ con centro $S$ y radio $1$ y un cuadrado $Q$ con centro $M$ y lado $2$. Sea $XY$ la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles $XY Z$. Describa el lugar geométrico de los puntos $Z$ a medida que $X$ varía a lo largo de $K$ e $Y$ varía a lo largo del borde de $Q.$ Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 1 de sep. de 2004, 7:49 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Hay $n\geq 2$ personas en una reunión. Demuestre que existen dos personas en la reunión que tienen el mismo número de amigos entre las personas presentes en la reunión. (Se asume que si $A$ es amigo de $B,$ entonces $B$ es amigo de $A;$ además, nadie es amigo de sí mismo.) Z K Y