Llamamos a un número gracioso si es divisible por la suma de sus dígitos $+1$. (Por ejemplo, $ 1+2+1|12$, entonces $12$ es gracioso) ¿Cuál es el número máximo de números graciosos consecutivos?

Hay $100$ números reales diferentes. Demuestra que podemos colocarlos en una tabla de $10 \times 10$, de tal manera que la diferencia entre dos números en celdas con un lado común no sea igual a $1$.

Hay $\frac{k(k+1)}{2}+1$ puntos en los planos, algunos están conectados por segmentos disjuntos (también un punto no puede estar en un segmento que conecta otros dos puntos). Es cierto que el plano está dividido en algunos paralelogramos y una región infinita. ¿Cuál es el número máximo de segmentos que se pueden dibujar?

En $\triangle ABC$ los puntos $M,O$ son el punto medio de $AB$ y el circuncentro. Es cierto que $OM=R-r$. La bisectriz del $\angle A$ externo intersecta a $BC$ en $D$ y la bisectriz del $\angle C$ externo intersecta a $AB$ en $E$. Encuentra los valores posibles de $\angle CED$.

Sean $0 \leq b \leq c \leq d \leq a$ y $a>14$ enteros. Demuestra que existe un $n$ natural tal que no puede ser representado como $$n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$$ donde $x,y,z$ son algunos enteros.

Hay un número natural $n>1$ en la pizarra. La operación consiste en sumar al número en la pizarra su máximo divisor no trivial. Demuestra que después de algunas operaciones obtenemos un número que es divisible por $3^{2000}$.

Sea $n!=ab^2$ donde $a$ está libre de cuadrados. Demuestra que para cada $\epsilon>0$ para cada $n$ suficientemente grande es cierto que $$2^{(1-\epsilon)n}<a<2^{(1+\epsilon)n}$$

$P(x,y)$ es un polinomio con coeficientes reales y $P(x+2y,x+y)=P(x,y)$. Demuestra que existe un polinomio $Q(t)$ tal que $P(x,y)=Q((x^2-2y^2)^2)$.

$D$ es el punto medio de $AC$ para $\triangle ABC$. Las bisectrices de $\angle ACB, \angle ABD$ son perpendiculares. Encuentra el valor máximo para $\angle BAC$.

En el entrenamiento de fútbol había $n$ futbolistas: delanteros y porteros. Hicieron $k$ goles. Demuestra que el entrenador principal puede dar a cada futbolista un número de equipo del $1$ al $n$ tal que, para cada gol, la diferencia entre el número de equipo del delantero y el número de equipo del portero es mayor que $n-k$.