Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Demostrar que el entero \[a^2+\left\lceil\frac{4a^2}b\right\rceil\] no es un cuadrado. (Aquí $\lceil z\rceil$ denota el menor entero mayor o igual que $z$ . )

Demuestre que existe una constante $c>0$ e infinitos enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: hay infinitos enteros positivos que no se pueden expresar como la suma de menos de $cn\log(n)$ potencias $n$ - ésimas coprimas por pares.

Sea $H = \{ \lfloor i\sqrt{2}\rfloor : i \in \mathbb Z_{>0}\} = \{1,2,4,5,7,\dots \}$ y sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe una constante $C$ tal que, si $A\subseteq \{1,2,\dots, n\}$ satisface $|A| \ge C\sqrt{n}$ , entonces existen $a,b\in A$ tales que $a-b\in H$ . (Aquí $\mathbb Z_{>0}$ es el conjunto de los enteros positivos, y $\lfloor z\rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $z$ .)

Sea $a$ un entero positivo. Decimos que un entero positivo $b$ es $a$ - bueno si $\tbinom{an}{b}-1$ es divisible por $an+1$ para todos los enteros positivos $n$ con $an \geq b$. Suponga que $b$ es un entero positivo tal que $b$ es $a$ - bueno, pero $b+2$ no es $a$ - bueno. Demuestre que $b+1$ es primo.

Encuentra todas las funciones $f:\mathbb Z_{>0}\to \mathbb Z_{>0}$ tales que $a+f(b)$ divide a $a^2+bf(a)$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$ con $a+b>2019$.

Decimos que un conjunto $S$ de enteros es _rootiful_ si, para cualquier entero positivo $n$ y cualesquiera $a_0, a_1, \cdots, a_n \in S$, todas las raíces enteras del polinomio $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n$ también están en $S$. Encuentra todos los conjuntos _rootiful_ de enteros que contengan todos los números de la forma $2^a - 2^b$ para enteros positivos $a$ y $b$.

Encuentra todas las ternas $(a, b, c)$ de enteros positivos tales que $a^3 + b^3 + c^3 = (abc)^2$.

Encuentra todos los pares $(k,n)$ de enteros positivos tales que \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}). \]

Sea $\mathcal L$ el conjunto de todas las líneas en el plano y sea $f$ una función que asigna a cada línea $\ell\in\mathcal L$ un punto $f(\ell)$ en $\ell$ . Suponga que para cualquier punto $X$ , y para cualesquiera tres líneas $\ell_1,\ell_2,\ell_3$ que pasan por $X$ , los puntos $f(\ell_1),f(\ell_2),f(\ell_3)$ , y $X$ se encuentran en un círculo. Demuestra que existe un único punto $P$ tal que $f(\ell)=P$ para cualquier línea $\ell$ que pasa por $P$.

Sea $I$ el incentro del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB\neq AC$. La circunferencia inscrita $\omega$ de $ABC$ es tangente a los lados $BC, CA$ , y $AB$ en $D, E,$ y $F$ , respectivamente. La línea que pasa por $D$ perpendicular a $EF$ se encuentra con $\omega$ en $R$ . La línea $AR$ se encuentra con $\omega$ de nuevo en $P$ . Las circunferencias circunscritas del triángulo $PCE$ y $PBF$ se encuentran de nuevo en $Q$ . Demuestra que las líneas $DI$ y $PQ$ se encuentran en la línea que pasa por $A$ perpendicular a $AI$.