La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. qweDota 150 publicaciones qweDota #1 h 13 de feb. de 2018, 9:40 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sean $\alpha,\beta,\gamma$ las medidas de los ángulos opuestos a los lados de un triángulo con medidas $a,b,c$ respectivamente. Demuestre que $$2(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma)\geq \frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}$$ Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por qweDota, 13 de feb. de 2018, 9:41 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. HKIS200543 380 publicaciones HKIS200543 #1 h 3 de septiembre de 2019, 7:34 a. m. • 5 Y Y por buratinogigle, Adventure10, Mango247, Rounak_iitr, MathLuis En un triángulo no equilátero $ABC$, el punto $I$ es el incentro y el punto $O$ es el circuncentro. Una recta $s$ que pasa por $I$ es perpendicular a $IO$. La recta $\ell$, simétrica a la recta $BC$ con respecto a $s$, corta a los segmentos $AB$ y $AC$ en los puntos $K$ y $L$, respectivamente ($K$ y $L$ son distintos de $A$). Demuestre que el circuncentro del triángulo $AKL$ yace sobre la recta $IO$. Dušan Djukić Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por HKIS200543, 11 de septiembre de 2020, 3:51 a. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. qweDota 150 publicaciones qweDota #1 h 13 de feb. de 2018, 10:14 p. m. • 3 Y Y por Amir Hossein, Adventure10, Mango247 En un círculo de radio $R$ está inscrito un hexágono convexo. Las diagonales $AD$ y $BE$, $BE$ y $CF$, $CF$ y $AD$ del hexágono se cortan en los puntos $M$, $N$ y $K$, respectivamente. Sean $r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6$ los radios de los círculos inscritos en los triángulos $ABM,BCN,CDK,DEM,EFN,AFK$ respectivamente. Demuestre que $$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt{3}$$. Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por qweDota, 13 de feb. de 2018, 10:15 p. m. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Abril 1270 publicaciones Abril #1 h 9 de julio de 2009, 5:05 PM • 5 Y Y por Davi-8191, green_leaf, HWenslawski, Adventure10, PreciseScorpion58 Sea $ S\subseteq\mathbb{R}$ un conjunto de números reales. Decimos que un par $ (f, g)$ de funciones de $ S$ en $ S$ es una Pareja Española en $ S$ si satisfacen las siguientes condiciones: (i) Ambas funciones son estrictamente crecientes, es decir, $ f(x) < f(y)$ y $ g(x) < g(y)$ para todo $ x$ , $ y\in S$ con $ x < y$ ; (ii) La desigualdad $ f\left(g\left(g\left(x\right)\right)\right) < g\left(f\left(x\right)\right)$ se cumple para todo $ x\in S$ . Determine si existe una Pareja Española en el conjunto $ S = \mathbb{N}$ de los enteros positivos; en el conjunto $ S = \{a - \frac {1}{b}: a, b\in\mathbb{N}\}$ Propuesto por Hans Zantema, Países Bajos Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por Abril, 10 de julio de 2009, 6:23 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. WakeUp 1347 publicaciones WakeUp #1 h 30 de oct. de 2010, 1:50 p. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Sea $P_n \ (n=3,4,5,6,7)$ el conjunto de enteros positivos $n^k+n^l+n^m$ , donde $k,l,m$ son enteros positivos. Encuentre $n$ tal que: i) En el conjunto $P_n$ hay infinitos cuadrados. ii) En el conjunto $P_n$ no hay cuadrados. Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. augustin_p 170 publicaciones augustin_p #1 h 5 de mayo de 2023, 2:05 AM Y por El entero positivo $ n $ verifica $$\frac{1}{1\cdot(\sqrt{2}+\sqrt{1})+\sqrt{1}}+\frac{1}{2\cdot(\sqrt{3}+\sqrt{2})+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n\cdot(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})+\sqrt{n}}=\frac{2022}{2023}.$$ Encuentre la suma de los dígitos del número $ n $. Esta publicación ha sido editada 1 vez. Última edición por augustin_p, 5 de mayo de 2023, 2:05 AM Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. sqing 46253 publicaciones sqing #1 h 4 de mayo de 2017, 8:46 a. m. • 4 Y Y por laegolas, GoJensenOrGoHome, CatDog76, Adventure10 En una mesa circular se sientan $\displaystyle {n> 2}$ estudiantes. Inicialmente, cada estudiante tiene exactamente un caramelo. En cada paso, cada estudiante elige una de las siguientes acciones: (A) Entrega un caramelo al estudiante sentado a su izquierda o al estudiante sentado a su derecha. (B) Divide todos sus caramelos en dos conjuntos, posiblemente vacíos, y entrega un conjunto al estudiante sentado a su izquierda y el otro al estudiante sentado a su derecha. En cada paso, los estudiantes realizan las acciones que han elegido simultáneamente. Una distribución de caramelos se denomina legítima si puede ocurrir después de un número finito de pasos. Encuentre el número de distribuciones legítimas. (Dos distribuciones son diferentes si hay un estudiante que tiene una cantidad diferente de caramelos en cada una de estas distribuciones.) (Disculpen mi pobre inglés) Esta publicación ha sido editada 2 veces. Última edición por sqing, 4 de mayo de 2017, 8:47 a. m. Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. orl 3647 publicaciones orl #1 h 20 de julio de 2008, 4:40 a. m. • 1 Y Y por Adventure10 Retratos de científicos famosos cuelgan en una pared. Los científicos vivieron entre 1600 y 2008, y ninguno de ellos vivió más de 80 años. Vasya multiplicó los años de nacimiento de estos científicos, y Petya multiplicó los años de sus fallecimientos. El resultado de Petya es exactamente $ 5\over 4$ veces mayor que el resultado de Vasya. ¿Cuál es el número mínimo de retratos que puede haber en la pared? Autor: V. Frank Z K Y

La publicación de abajo ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. Amir Hossein 5452 publicaciones Amir Hossein #1 h 30 de sep. de 2010, 8:31 a. m. • 2 Y Y por Adventure10, Mango247 Dado el vértice $A$ y el baricentro $M$ de un triángulo $ABC$, encuentre el lugar geométrico de los vértices $B$ tales que todos los ángulos del triángulo se encuentren en el intervalo $[40^\circ, 70^\circ].$ Z K Y

La publicación a continuación ha sido eliminada. Haga clic para cerrar. Esta publicación ha sido eliminada. Haga clic aquí para ver la publicación. parmenides51 33700 publicaciones parmenides51 #1 h 6 de mar. de 2020, 1:39 a. m. Y por En la pizarra están escritos $100$ números reales positivos mutuamente diferentes, tales que para cualesquiera tres números diferentes $a, b, c$, $a^2 + bc$ es un entero. Demuestre que para cualesquiera dos números $x, y$ de la pizarra, el número $\frac{x}{y}$ es racional. Z K Y