Sea $S$ el incentro del triángulo $ABC$. $A_1, B_1, C_1$ son las intersecciones de $AS, BS, CS$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ respectivamente. Demostrar que $SA_1 + SB_1 + SC_1 \geq SA + SB + SC.$

Pruebe que existe un 1990-gono convexo con las siguientes dos propiedades:\na.) Todos los ángulos son iguales.\nb.) Las longitudes de los 1990 lados son los números $1^2$, $2^2$, $3^2$, $\cdots$, $1990^2$ en algún orden.

Dado un entero inicial $n_0 > 1$, dos jugadores, ${\mathcal A}$ y ${\mathcal B}$, eligen enteros $n_1$, $n_2$, $n_3$, $\ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas:\nI.) Conociendo $n_{2k}$, ${\mathcal A}$ elige cualquier entero $n_{2k + 1}$ tal que \[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2. \]\nII.) Conociendo $n_{2k + 1}$, ${\mathcal B}$ elige cualquier entero $n_{2k + 2}$ tal que \[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}} \] es un primo elevado a una potencia entera positiva. El jugador ${\mathcal A}$ gana el juego al elegir el número 1990; el jugador ${\mathcal B}$ gana al elegir el número 1. Para qué $n_0$ :\na.) ${\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora?\nb.) ${\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora?\nc.) Ninguno de los jugadores tiene una estrategia ganadora?

Sea ${\mathbb Q}^ +$ el conjunto de números racionales positivos. Construya una función $f : {\mathbb Q}^ + \rightarrow {\mathbb Q}^ +$ tal que \[ f(xf(y)) = \frac {f(x)}{y} \] para todo $x$, $y$ en ${\mathbb Q}^ +$.

Determine todos los enteros $n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.

Sea $n \geq 3$ y considere un conjunto $E$ de $2n - 1$ puntos distintos en un círculo. Suponga que exactamente $k$ de estos puntos deben ser coloreados de negro. Tal coloración es buena si existe al menos un par de puntos negros tales que el interior de uno de los arcos entre ellos contiene exactamente $n$ puntos de $E$. Encuentre el valor más pequeño de $k$ tal que toda coloración de $k$ puntos de $E$ es buena.

Las cuerdas $AB$ y $CD$ de un círculo se intersecan en un punto $E$ dentro del círculo. Sea $M$ un punto interior del segmento $EB$. La recta tangente en $E$ al círculo que pasa por $D$, $E$ y $M$ interseca las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] encuentre $\frac {EG}{EF}$ en términos de $t$.

Para cada entero positivo fijo $n$ , $n\geq 4$ y $P$ un entero, sea $(P)_n \in [1, n]$ el residuo positivo más pequeño de $P$ módulo $n$ . Dos secuencias $a_1, a_2, \dots, a_k$ y $b_1, b_2, \dots, b_k$ con los términos en $[1, n]$ se definen como equivalentes, si existe $t$ entero positivo, mcd $(t,n)=1$ , tal que la secuencia $(ta_1)_n, \dots, (ta_k)_n$ es una permutación de $b_1, b_2, \dots, b_k$ . Sea $\alpha$ una secuencia de tamaño $n$ y sus términos están en $[1, n]$ , tal que cada término aparece $h$ veces en la secuencia $\alpha$ y $2h\geq n$ . Demuestre que $\alpha$ es equivalente a alguna secuencia $\beta$ que contiene una subsecuencia tal que su tamaño es (a lo sumo) igual a $h$ y su suma es exactamente igual a $n$ .

Sea $ABC$ un triángulo e $I$ su incentro, sea $P$ un punto en $AC$ tal que $PI$ es perpendicular a $AC$ , y sea $D$ la reflexión de $B$ con respecto al circuncentro de $\triangle ABC$ . La línea $DI$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en el punto $Q$ . Demuestre que $QP$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$ .

¿Existe un número $n$ tal que uno pueda escribir $n$ como la suma de $2017$ cuadrados perfectos y (con al menos) $2017$ maneras distintas?