1990 matemáticos asisten a una reunión, cada matemático tiene al menos 1327 amigos (la relación de amistad es recíproca). Demuestre que existen cuatro matemáticos entre ellos tales que dos cualesquiera de ellos son amigos.

Llamamos a un entero $k \geq 1$ que tiene la propiedad $P$ , si existe al menos un entero $m \geq 1$ que no puede expresarse de la forma $m = \varepsilon_1 z_1^k + \varepsilon_2 z_2^k + \cdots + \varepsilon_{2k} z_{2k}^k $ , donde $z_i$ son enteros no negativos y $\varepsilon _i = 1$ o $-1$ , $i = 1, 2, \ldots, 2k$ . Demuestre que hay infinitos enteros $k$ que tienen la propiedad $P.$

Dado un triángulo $ ABC$. Sean $ G$ , $ I$ , $ H$ el baricentro, el incentro y el ortocentro del triángulo $ ABC$ , respectivamente. Demuestre que $ \angle GIH > 90^{\circ}$ .

Llamamos a un conjunto $S$ en la recta real $R$ 'superinvariante', si para cualquier estiramiento $A$ del conjunto $S$ por la transformación que lleva $x$ a $A(x) = x_0 + a(x - x_0)$ , donde $a > 0$ , existe una transformación $B, B(x) = x + b$ , tal que las imágenes de $S$ bajo $A$ y $B$ coinciden; es decir, para cualquier $x \in S$ , existe $y \in S$ tal que $A(x) = B(y)$ , y para cualquier $t \in S$ , existe un $u \in S$ tal que $B(t) = A(u).$ Determinar todos los conjuntos superinvariantes.

Seis ciudades $A, B, C, D, E$ y $F$ están ubicadas en los vértices de un hexágono regular en ese orden. $G$ es el centro del hexágono. Los lados del hexágono son las carreteras que conectan estas ciudades. Además, hay carreteras que conectan las ciudades $B, C, E, F$ y $G$ , respectivamente. Debido a la lluvia, una o más carreteras pueden estar destruidas. La probabilidad de que la carretera se mantenga intacta entre dos ciudades consecutivas es $p$ . Determinar la probabilidad de que la carretera entre las ciudades $A$ y $D$ no esté destruida.

Para cualquier permutación $p$ del conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ , define $d(p) = |p(1) - 1| + |p(2) - 2| + \ldots + |p(n) - n|$ . Denotamos por $i(p)$ el número de pares de enteros $(i, j)$ en la permutación $p$ tales que $1 \leqq i < j \leq n$ y $p(i) > p(j)$ . Encontrar todos los números reales $c$ , tales que la desigualdad $i(p) \leq c \cdot d(p)$ se cumple para cualquier entero positivo $n$ y cualquier permutación $p$.

En un grupo de matemáticos, cada matemático tiene algunos amigos (la relación de amistad es recíproca). Demostrar que existe un matemático, tal que el promedio del número de amigos de todos sus amigos no es menor que el promedio del número de amigos de todos estos matemáticos.

Sean $p, k$ y $x$ enteros positivos tales que $p \geq k$ y $x < \left[ \frac{p(p-k+1)}{2(k-1)} \right]$ , donde $[q]$ es el entero más grande que no es mayor que $q$ . Demostrar que cuando se colocan $x$ bolas en $p$ cajas arbitrariamente, existen $k$ cajas con el mismo número de bolas.

Sea $\{ a_1, a_2, \ldots, a_n\} = \{1, 2, \ldots, n\}$ . Demuestra que \[\frac 12 +\frac 23 +\cdots+\frac{n-1}{n} \leq \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} +\cdots+\frac{a_{n-1}}{a_n}.\]

Sean $a, b, c$ las longitudes de los lados y $P$ el área de un triángulo, respectivamente. Demostrar que \[(a^2+b^2+c^2-4\sqrt 3 P) (a^2+b^2+c^2) \geq 2 \left(a^2(b - c)^2 + b^2(c - a)^2 + c^2(a - b)^2\right).\]