Un plano corta un cono circular recto de volumen $V$ en dos partes. El plano es tangente a la circunferencia de la base del cono y pasa por el punto medio de la altura. Hallar el volumen de la parte más pequeña.

Demostrar que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que el número $\frac{1^2+2^2+\cdots+n^2}{n}$ es un cuadrado perfecto. Obviamente, $1$ es el menor entero que tiene esta propiedad. Encontrar los dos siguientes enteros más pequeños que tienen esta propiedad.

Sea $K$ el incentro del triángulo $ABC$. Sea $C_1$ el punto medio de $AB$ y $B_1$ el punto medio de $AC$. Las rectas $C_1K$ y $AC$ se intersecan en $B_2$, las rectas $B_1K$ y $AB$ en $C_2$. Si las áreas de los triángulos $AB_2C_2$ y $ABC$ son iguales, ¿cuál es la medida del ángulo $\angle CAB$?

Encuentre el número real $t$ , tal que el siguiente sistema de ecuaciones tiene una única solución real $(x, y, z, v)$ : \[ \left\{\begin{array}{cc}x+y+z+v=0\ (xy + yz +zv)+t(xz+xv+yv)=0\end{array}\right. \]

Para un entero positivo dado $ k$ denote el cuadrado de la suma de sus dígitos por $ f_1(k)$ y sea $ f_{n+1}(k) = f_1(f_n(k)).$ Determine el valor de $ f_{1991}(2^{1990}).$

Sea $ f(0) = f(1) = 0$ y \[ f(n+2) = 4^{n+2} \cdot f(n+1) - 16^{n+1} \cdot f(n) + n \cdot 2^{n^2}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots\] Muestre que los números $ f(1989), f(1990), f(1991)$ son divisibles por $ 13.$

Sea $O$ un punto interior al triángulo $ABC$. A través de $O$, dibuje tres líneas $DE \parallel BC, FG \parallel CA$ , y $HI \parallel AB$ , donde $D, G$ están en $AB$ , $I, F$ están en $BC$ y $E, H$ están en $CA$. Denotemos por $S_1$ el área del hexágono $DGHEFI$ , y $S_2$ el área del triángulo $ABC$ . Demuestre que $S_1 \geq \frac 23 S_2.$

¿Podría el espacio tridimensional expresarse como la unión de circunferencias disjuntas?

Dado un entero inicial $ n_0 > 1$ , dos jugadores, $ {\mathcal A}$ y $ {\mathcal B}$ , eligen enteros $ n_1$ , $ n_2$ , $ n_3$ , $ \ldots$ alternativamente de acuerdo con las siguientes reglas :\nI.) Conociendo $ n_{2k}$ , $ {\mathcal A}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 1}$ tal que\n\[ n_{2k} \leq n_{2k + 1} \leq n_{2k}^2.\n\] II.) Conociendo $ n_{2k + 1}$ , $ {\mathcal B}$ elige cualquier entero $ n_{2k + 2}$ tal que\n\[ \frac {n_{2k + 1}}{n_{2k + 2}}\n\] es un primo elevado a una potencia entera positiva.\nEl jugador $ {\mathcal A}$ gana el juego eligiendo el número 1990; el jugador $ {\mathcal B}$ gana eligiendo el número 1.\n¿Para qué $ n_0$ :\na.) $ {\mathcal A}$ tiene una estrategia ganadora?\nb.) $ {\mathcal B}$ tiene una estrategia ganadora?\nc.) ¿Ningún jugador tiene una estrategia ganadora?

Encuentre, con prueba, el menor entero positivo $n$ que tiene la siguiente propiedad: en la representación binaria de $ \frac 1n$ , todas las representaciones binarias de $1, 2, \ldots, 1990$ (cada una consiste en dígitos consecutivos) aparecen después del punto decimal.