¿Existe un entero tal que su cubo sea igual a $3n^2 + 3n + 7,$ donde $n$ es un entero?

Demuestra que para números positivos arbitrarios se cumple la siguiente desigualdad \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \leq \frac{a^8 + b^8 + c^8}{a^3b^3c^3}.\]

Demuestra esta proposición: Centra la esfera circunscrita alrededor de un tetraedro que coincide con el centro de una esfera inscrita en ese tetraedro si y sólo si las aristas alabeadas del tetraedro son iguales.

Demuestra la identidad $\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\left(\tan\frac{x}{2}\right)^{2k}\left(1+\frac{2^k}{\left(1-\tan^2\frac{x}{2}\right)^k}\right)=\sec^{2n}\frac{x}{2}+\sec^n x$ para cualquier número natural $n$ y cualquier ángulo $x.$

Las caras de un poliedro convexo son seis cuadrados y 8 triángulos equiláteros y cada arista es un lado común para un triángulo y un cuadrado. Todos los ángulos diedros obtenidos del triángulo y el cuadrado con una arista común son iguales. Demuestra que es posible circunscribir una esfera alrededor del poliedro, y calcula la razón de los cuadrados de los volúmenes de ese poliedro y de la bola cuya frontera es la esfera circunscrita.

En qué caso el sistema de ecuaciones $\begin{matrix} x + y + mz = a \\ x + my + z = b \\ mx + y + z = c \\ \end{matrix}$ tiene una solución? Encuentra las condiciones bajo las cuales la solución única del sistema anterior es una progresión aritmética.

Determina el volumen del cuerpo obtenido al cortar la bola de radio $R$ por el triedro con vértice en el centro de esa bola, si sus ángulos diedros son $\alpha, \beta, \gamma$.

Una urna contiene bolas de $k$ colores diferentes; hay $n_i$ bolas del color $i$-ésimo. Las bolas se seleccionan al azar de la urna, una por una, sin reemplazo, hasta que entre las bolas seleccionadas aparezcan $m$ bolas del mismo color. Encuentra el mayor número de selecciones.

Dados $m+n$ números: $a_i$, $i = 1,2, \ldots, m$, $b_j$, $j = 1,2, \ldots, n$, determina el número de pares $(a_i,b_j)$ para los cuales $|i-j| \geq k$, donde $k$ es un entero no negativo.

Dados los triángulos acutángulos $A_0B_0C_0$ y $A_1B_1C_1$. Describe y demuestra cómo construir el triángulo $ABC$ con el área más grande posible que esté circunscrito sobre $A_0B_0C_0$ (de modo que $BC$ contenga a $B_0$, $CA$ contenga a $B_0$ y $AB$ contenga a $C_0$) y sea similar a $A_1B_1C_1$.