Determinar todas las raíces positivas de la ecuación $ x^x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Demostrar la siguiente desigualdad: \[\prod^k_{i=1} x_i \cdot \sum^k_{i=1} x^{n-1}_i \leq \sum^k_{i=1}\nx^{n+k-1}_i,\] donde $x_i > 0,$ $k \in \mathbb{N}, n \in\n\mathbb{N}.$

Si $x,y,z$ son números reales que satisfacen las relaciones \[x+y+z = 1 \quad \textrm{y} \quad \arctan x + \arctan y + \arctan z = \frac{\pi}{4},\] demostrar que $x^{2n+1} + y^{2n+1} + z^{2n+1} = 1$ se cumple para todos los enteros positivos $n$.

(i) Resolver la ecuación: \[ \sin^3(x) + \sin^3\left( \frac{2 \pi}{3} + x\right) + \sin^3\left( \frac{4 \pi}{3} + x\right) + \frac{3}{4} \cos {2x} = 0.\] (ii) Suponiendo que las soluciones están en la forma de arcos $AB$ con un extremo en el punto $A$ , el comienzo de los arcos del círculo trigonométrico, y $P$ un polígono regular inscrito en el círculo con un vértice en $A$ , encontrar: 1) Los subconjuntos de arcos que tienen el otro extremo en $B$ en uno de los vértices del dodecágono regular. 2) Demostrar que ninguna solución puede tener el extremo $B$ en uno de los vértices del polígono $P$ cuyo número de lados es primo o que tiene factores distintos de 2 o 3.

Suponga que $p$ y $q$ son dos enteros positivos diferentes y $x$ es un número real. Forme el producto $(x+p)(x+q).$ Encuentre la suma $S(x,n) = \sum (x+p)(x+q),$ donde $p$ y $q$ toman valores de 1 a $n.$ ¿Existen valores enteros de $x$ para los cuales $S(x,n) = 0.$

Se da la ecuación \[x^5 + 5 \lambda x^4 - x^3 + (\lambda \alpha - 4)x^2 - (8 \lambda + 3)x + \lambda \alpha - 2 = 0\]. Determine $\alpha$ para que la ecuación dada tenga exactamente (i) una raíz o (ii) dos raíces, respectivamente, independientes de $\lambda.$

Descomponer la expresión en factores reales: \[E = 1 - \sin^5(x) - \cos^5(x).\]

Una línea $l$ se dibuja a través del punto de intersección $H$ de las alturas de triángulos acutángulos. Demuestra que las imágenes simétricas $l_a, l_b, l_c$ de $l$ con respecto a los lados $BC,CA,AB$ tienen un punto en común, que se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC.$

Demuestra que un tetraedro con solo una longitud de arista mayor que $1$ tiene un volumen de a lo sumo $ \frac{1}{8}.$

Demuestra que el triángulo cuyos ángulos satisfacen la igualdad \[ \frac{sin^2(A) + sin^2(B) + sin^2(C)}{cos^2(A) + cos^2(B) + cos^2(C)} = 2 \] es un triángulo rectángulo.