Sea $l(z) = Az + B$ un binomio lineal con coeficientes complejos $A$ y $B$. Se sabe que el valor máximo de $|l(z)|$ en el segmento $-1 \leq x \leq 1$ $(y = 0)$ de la recta real en el plano complejo $z = x + iy$ es igual a $M$. Demuestre que para todo $z$ \[|l(z)| \leq M \rho,\] donde $\rho$ es la suma de las distancias desde el punto $P=z$ a los puntos $Q_1: z = 1$ y $Q_3: z = -1.$

Sean $a_1,\ldots,a_8$ números reales, no todos iguales a cero. Sea $ c_n = \sum^8_{k=1} a^n_k$ para $n=1,2,3,\ldots$ . Dado que entre los números de la secuencia $(c_n)$ , hay infinitos iguales a cero, determina todos los valores de $n$ para los cuales $c_n = 0.$

En un grupo de intérpretes, cada uno habla uno de varios idiomas extranjeros, 24 de ellos hablan japonés, 24 malayo, 24 farsi. Demuestra que es posible seleccionar un subgrupo en el que exactamente 12 intérpretes hablan japonés, exactamente 12 hablan malayo y exactamente 12 hablan farsi.

Encuentra todas las $x$ para las cuales, para toda $n,$ $\sum^n_{k=1} \sin {k x} \leq \frac{\sqrt{3}}{2}.$

¿Es posible encontrar un conjunto de $100$ (o $200$) puntos en la frontera de un cubo tal que este conjunto permanezca fijo bajo todas las rotaciones que dejan el cubo fijo?

Al hacer construcciones euclidianas en geometría, se permite usar una regla y un par de compases. En las construcciones consideradas en esta pregunta no se permiten compases, pero se asume que la regla tiene dos bordes paralelos, que se pueden usar para construir dos líneas paralelas a través de dos puntos dados cuya distancia es al menos igual al ancho de la regla. Entonces la distancia entre las líneas paralelas es igual al ancho de la regla. Lleve a cabo las siguientes construcciones con tal regla.\nConstruir:\na) La bisectriz de un ángulo dado.\nb) El punto medio de un segmento de línea rectilínea dado.\nc) El centro de un círculo que pasa por tres puntos no colineales dados.\nd) Una línea a través de un punto dado paralela a una línea dada.

En el plano se dan un punto $O$ y una secuencia de puntos $P_1, P_2, P_3, \ldots$. Las distancias $OP_1, OP_2, OP_3, \ldots$ son $r_1, r_2, r_3, \ldots$ Sea $\alpha$ tal que $0 < \alpha < 1.$ Suponga que para cada $n$ la distancia desde el punto $P_n$ a cualquier otro punto de la secuencia es $\geq r^{\alpha}_n.$ Determine el exponente $\beta$ , tan grande como sea posible tal que para alguna $C$ independiente de $n$ \[r_n \geq Cn^{\beta}, n = 1,2, \ldots\]

Se dice que un subconjunto $S$ del conjunto de enteros 0 - 99 tiene la propiedad $A$ si es imposible llenar un crucigrama con 2 filas y 2 columnas con números en $S$ (0 se escribe como 00, 1 como 01, y así sucesivamente). Determine el número máximo de elementos en el conjunto $S$ con la propiedad $A.$

La función $\varphi(x,y,z)$ definida para todas las ternas $(x,y,z)$ de números reales, es tal que existen dos funciones $f$ y $g$ definidas para todos los pares de números reales, tales que \[\varphi(x,y,z) = f(x+y,z) = g(x,y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$ Demuestre que existe una función $h$ de una variable real, tal que \[\varphi(x,y,z) = h(x+y+z)\] para todos los números reales $x,y$ y $z.$

Sean $n$ y $k$ enteros positivos tales que $1 \leq n \leq N+1$ , $1 \leq k \leq N+1$ . Demuestre que: \[ \min_{n \neq k} |\sin n - \sin k| < \frac{2}{N}. \]