Sea $a$ un número real positivo tal que $a^{3}=6(a+1)$ . Demuestre que la ecuación $x^{2}+ax+a^{2}-6=0$ no tiene solución real.

En un país hay $4^9$ escolares viviendo en cuatro ciudades. Al final del año escolar se realizó un examen estatal en 9 asignaturas. Se sabe que dos estudiantes cualesquiera tienen diferentes notas al menos en una asignatura. Sin embargo, cada dos estudiantes de la misma ciudad obtuvieron notas iguales al menos en una asignatura. Prueba que hay una asignatura tal que cada dos niños que viven en la misma ciudad tienen notas iguales en esta asignatura.

En un cuadrilátero cíclico $ABCD$ , las extensiones de los lados $AB$ y $CD$ se encuentran en el punto $P$ , y las extensiones de los lados $AD$ y $BC$ se encuentran en el punto $Q$ . Demuestra que la distancia entre los ortocentros de los triángulos $APD$ y $AQB$ es igual a la distancia entre los ortocentros de los triángulos $CQD$ y $BPC$ .

Para un entero positivo $n$ dado, se sabe que existen $2010$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por $n$ pero su producto es divisible por $n$ . Demuestra que existen $2004$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por $n$ pero su producto es divisible por $n$ .

El barón Münchausen se jacta de que conoce un trinomio cuadrático notable con coeficientes positivos. El trinomio tiene una raíz entera; si todos sus coeficientes se incrementan en $1$ , el trinomio resultante también tiene una raíz entera; y si todos sus coeficientes también se incrementan en $1$ , el nuevo trinomio, también, tiene una raíz entera. ¿Puede ser esto cierto?

Prueba que para cualquier número real positivo $\alpha$ , el número $\lfloor\alpha n^2\rfloor$ es par para infinitos enteros positivos $n$.

Dispuestos en un círculo hay $2010$ dígitos, cada uno de ellos igual a $1$ , $2$ , o $3$ . Para cada entero positivo $k$ , se sabe que en cualquier bloque de $3k$ dígitos consecutivos, cada uno de los dígitos aparece a lo sumo $k+10$ veces. Demuestra que hay un bloque de varios dígitos consecutivos con el mismo número de $1$ s , $2$ s , y $3$ s .

En el triángulo acutángulo $ABC$ , sea $H$ su ortocentro y sea $D$ un punto en el lado $BC$ . Sea $P$ el punto tal que $ADPH$ es un paralelogramo. Demuestra que $\angle DCP<\angle BHP$.

Misha y Sahsa juegan un juego en un tablero de ajedrez de $100\times 100$. Primero, Sasha coloca $50$ reyes en el tablero, y Misha coloca una torre, y luego se mueven por turnos, como sigue (Sasha comienza): En su movimiento, Sasha mueve cada uno de los reyes una casilla en cualquier dirección, y Misha puede mover la torre en la horizontal o vertical cualquier número de casillas. Los reyes no pueden ser capturados ni saltados. El propósito de Sasha es capturar la torre, y el de Misha es evitar la captura. ¿Existe una estrategia ganadora disponible para Sasha?

En el círculo con centro 0 y radio 1, el punto $A_0$ está fijo y los puntos $A_1, A_2, \ldots, A_{999}, A_{1000}$ están distribuidos de tal manera que el ángulo $\angle A_00A_k = k$ (en radianes). Corte el círculo en los puntos $A_0, A_1, \ldots, A_{1000}.$ ¿Cuántos arcos con diferentes longitudes se obtienen?