Sea la circunferencia inscrita del triángulo $\vartriangle ABC$ que toca el lado $BC$ en $M$ , el lado $CA$ en $N$ y el lado $AB$ en $P$ . Sea $D$ un punto de $\left[ NP \right]$ tal que $\frac{DP}{DN}=\frac{BD}{CD}$ . Muestra que $DM \perp PN$ .

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con $\angle{DAC}= \angle{BDC}= 36^\circ$ , $\angle{CBD}= 18^\circ$ y $\angle{BAC}= 72^\circ$ . Las diagonales se intersecan en el punto $P$ . Determina la medida de $\angle{APD}$ .

Sea $M$ un punto interior del triángulo $ABC$ con $<BAC=70$ y $<ABC=80$. Si $<ACM=10$ y $<CBM=20$. Demuestra que $AB=MC$

Se dan el entero no negativo $n$ y un tablero de ajedrez de $(2n + 1) \times (2n + 1)$ con cuadrados coloreados alternativamente en blanco y negro. Para cada número natural $m$ con $1 < m < 2n+1$, un cuadrado de $m \times m$ del tablero de ajedrez dado que tiene más de la mitad de su área coloreada en negro, se llama cuadrado $B$. Si el tablero de ajedrez dado es un cuadrado $B$, halla en términos de $n$ el número total de cuadrados $B$ de este tablero de ajedrez.

Se dan $50$ puntos en el plano, no tres de ellos pertenecientes a una misma línea. Cada uno de estos puntos está coloreado usando uno de cuatro colores dados. Demuestra que hay un color y al menos $130$ triángulos escalenos con vértices de ese color.

Llamamos a un mosaico de un rectángulo de $m \times n$ con esquinas (ver figura abajo) 'regular' si no hay sub-rectángulo que esté embaldosado con esquinas. Demuestra que si para algunos $m$ y $n$ existe un mosaico 'regular' del rectángulo de $m \times n$, entonces también existe un mosaico 'regular' para el rectángulo de $2m \times 2n$.

Los números reales $x,y,z, m, n$ son positivos, tal que $m + n \ge 2$ . Demuestra que $x\sqrt{yz(x + my)(x + nz)} + y\sqrt{xz(y + mx)(y + nz)} + z\sqrt{xy(z + mx)(x + ny) }\le \frac{3(m + n)}{8}(x + y)(y + z)(z + x)$

Sean $a$ y $ b$ enteros positivos mayores que $2$ . Demuestre que existe un entero positivo $k$ y una secuencia $n_1, n_2, ..., n_k$ que consta de enteros positivos, tal que $n_1 = a,n_k = b$ , y $(n_i + n_{i+1}) | n_in_{i+1}$ para todo $i = 1,2,..., k - 1$

Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que contiene el número $1$ y al menos un elemento más. Dado que para dos elementos diferentes $m, n$ de $A$ el número $\frac{m+1 }{(m+1,n+1) }$ también es un elemento de $A$ , demuestre que $A$ coincide con el conjunto de enteros positivos.

Demuestre que para todos los reales positivos $a,b,c$ se cumple que $\frac{a^2-bc}{2a^2+bc}+\frac{b^2-ca}{2b^2+ca}+\frac{c^2-ab}{2c^2+ab}\leq 0$