Sea $\mathbb{N}_{\geqslant 1}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N}_{\geqslant 1} \to \mathbb{N}_{\geqslant 1}$ tal que, para todos los enteros positivos $m$ y $n$ :\n\[\mathrm{GCD}\left(f(m),n\right) + \mathrm{LCM}\left(m,f(n)\right) =\n\mathrm{GCD}\left(m,f(n)\right) + \mathrm{LCM}\left(f(m),n\right).\]\nNota: si $a$ y $b$ son enteros positivos, $\mathrm{GCD}(a,b)$ es el entero positivo más grande que divide tanto a $a$ como a $b$ , y $\mathrm{LCM}(a,b)$ es el entero positivo más pequeño que es múltiplo tanto de $a$ como de $b$.

Cada punto en el plano fue coloreado en rojo o azul. Demuestra que una de las siguientes afirmaciones es verdadera:\n$\\bullet$ existe dos puntos rojos a distancia $1$ uno del otro;\n$\\bullet$ existe cuatro puntos azules $B_1$ , $B_2$ , $B_3$ , $B_4$ tal que los puntos $B_i$ y $B_j$ están a distancia $|i - j|$ uno del otro, para todos los enteros $i$ y $j$ tal que $1 \le i \le 4$ y $1 \le j \le 4$.

Evaristo ha dibujado doce triángulos como sigue, de forma que dos triángulos consecutivos comparten exactamente un lado. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/2/50377e7ad5fb1c40e36725e43c7eeb1e3c2849.png Sophie colorea cada lado del triángulo en rojo, verde o azul. Entre los $3^{24}$ posibles coloreados, ¿cuántos tienen la propiedad de que cada triángulo tiene un lado de cada color?

Sean $R$ y $S$ los números definidos por \[R = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{6} \times \cdots \times \dfrac{223}{224} \text{ y } S = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} \times \dfrac{6}{7} \times \cdots \times \dfrac{224}{225}.\] Demuestra que $R < \dfrac{1}{15} < S$.

Demuestra que si $p$ es un número primo, entonces $7p+3^{p}-4$ no es un cuadrado perfecto.

Sean $a, b$ dos enteros positivos coprimos. Un número se llama bueno si puede ser escrito en la forma $ax + by$ para enteros no negativos $x, y$ . Definir la función $f : Z\to Z $ como $f(n) = n - n_a - n_b$ , donde $s_t$ representa el resto de $s$ al dividirlo por $t$ . Mostrar que un entero $n$ es bueno si y sólo si la secuencia infinita $n, f(n), f(f(n)), ...$ contiene sólo enteros no negativos.

Sea $n > 1$ un entero positivo y $p$ un número primo tal que $n | (p - 1) $ y $p | (n^6 - 1)$ . Demostrar que al menos uno de los números $p- n$ y $p + n$ es un cuadrado perfecto.

Demostrar que la ecuación $x^{2006} - 4y^{2006} -2006 = 4y^{2007} + 2007y$ no tiene solución en el conjunto de los enteros positivos.

Encontrar todos los pares de enteros positivos $(x, y)$ tales que $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{[x, y]}+\frac{1}{(x, y)}=\frac{1}{2}$ , donde $(x, y)$ es el máximo común divisor de $x, y$ y $[x, y]$ es el mínimo común múltiplo de $x, y$ .

Sea $S$ un punto dentro de $\angle pOq$ , y sea $k$ una circunferencia que contiene a $S$ y toca los lados $Op$ y $Oq$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. La línea recta $s$ paralela a $Op$ desde $S$ interseca a $Oq$ en un punto $R$ . Sea $T$ el punto de intersección del rayo $PS$ y la circunferencia circunscrita de $\vartriangle SQR$ y $T \ne S$ . Prueba que $OT // SQ$ y $OT$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\vartriangle SQR$ .