Para cada entero positivo $k$, sea $S_k$ el conjunto de números reales que se pueden expresar en la forma $\frac{1}{n_1}+ \frac{1}{n_2}+\dots+\frac{1}{n_k}$, donde $n_1,n_2\dots,n_k$ son enteros positivos. Demuestre que $S_k$ no contiene una secuencia estrictamente creciente infinita.

Sea $\mathcal{M}$ el conjunto de matrices reales de $5\times 5$ de rango $3$. Dada una matriz en $\mathcal{M}$, el conjunto de columnas de $A$ tiene $2^5-1=31$ subconjuntos no vacíos. Sea $k_A$ el número de estos subconjuntos que son linealmente independientes. Determine los valores máximo y mínimo de $k_A$, cuando $A$ varía sobre $\mathcal{M}$. El rango de una matriz es la dimensión del tramo de sus columnas.

Un pentágono espacial regular consta de cinco puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ y $P_5$ en $\mathbb{R}^3$ tales que $|P_iP_{i+1}|=|P_jP_{j+1}|$ y $\angle P_{i-1}P_iP_{i+1}=\angle P_{j-1}P_jP_{j+1}$ para todo $1\leq i,\leq 5$, donde $P_0=P_5$ y $P_{6}=P_{1}$. Un pentágono espacial regular es plano si hay un plano que pasa por los cinco puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ y $P_5$. Demuestre que todo pentágono espacial regular es plano.

Determine el conjunto de números reales $\alpha$ que se pueden expresar en la forma $\alpha=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x_{n+1}}{x_n^3}$ donde $x_0,x_1,x_2,\dots$ es una secuencia creciente de números reales con $x_0=1$.

Fiona tiene una baraja de cartas etiquetadas de $1$ a $n$, dispuestas en una fila sobre la mesa en orden de $1$ a $n$ de izquierda a derecha. Su objetivo es organizarlas en una sola pila, a través de una serie de pasos de la siguiente forma: Si en alguna etapa las cartas están en $m$ pilas, ella elige $1\leq k<m$ y organiza las cartas en $k$ pilas recogiendo la pila $k+1$ y colocándola en la pila $1$; recogiendo la pila $k+2$ y colocándola en la pila $2$; y así sucesivamente, trabajando de izquierda a derecha y volviendo a recorrer según sea necesario. Ella repite el proceso hasta que las cartas estén en una sola pila, y luego se detiene. Entonces, por ejemplo, si $n=7$ y ella elige $k=3$ en el primer paso, tendría las siguientes tres pilas: $\begin{matrix}\n7 & & \\\n4 & 5 & 6 \\\n1 &2 & 3 \\\n\hline\n\end{matrix}$ Si luego elige $k=1$ en la segunda parada, termina con las cartas en una sola pila con las cartas ordenadas $6352741$ de arriba a abajo. ¿Cuántas pilas finales diferentes puede obtener Fiona?

Hay $1001$ puntos en el plano tales que no hay tres colineales. Los puntos están unidos por $1001$ segmentos de línea tales que cada punto es un punto final de exactamente dos de los segmentos de línea. Demuestre que no existe una línea recta en el plano que interseca cada uno de los $1001$ segmentos en un punto interior. Un punto interior de un segmento de línea es un punto del segmento de línea que no es uno de los dos puntos finales.

Sea $\mathbb{N}_{\ge 1}$ el conjunto de los enteros positivos. Encuentra todas las funciones $f \colon \mathbb{N}_{\ge 1} \to \mathbb{N}_{\ge 1}$ tal que, para todos los enteros positivos $m$ y $n$ :\n(a) $n = \left(f(2n)-f(n)\right)\left(2 f(n) - f(2n)\right)$ ,\n(b ) $f(m)f(n) - f(mn) = \left(f(2m)-f(m)\right)\left(2 f(n) - f(2n)\right) + \left(f(2n)-f(n)\right)\left(2 f(m) - f(2m)\right)$ ,\n(c) $m-n$ divide a $f(2m)-f(2n)$ si $m$ y $n$ son números primos impares distintos.

Sea $ABCD$ un cuadrado con incírculo $\Gamma$ . Sea $M$ el punto medio del segmento $[CD]$ . Sea $P \neq B$ un punto en el segmento $[AB]$ . Sea $E \neq M$ el punto en $\Gamma$ tal que $(DP)$ y $(EM)$ son paralelos. Las líneas $(CP)$ y $(AD)$ se intersecan en $F$ . Demuestre que la línea $(EF)$ es tangente a $\Gamma$

Alberto y Beatriz juegan un juego. $2021$ piedras yacen en una mesa. Empezando con Alberto, alternativamente remueven piedras de la mesa, mientras obedecen la siguiente regla. En el $n$ -ésimo turno, el jugador activo (Alberto si $n$ es impar, Beatriz si $n$ es par) puede remover de $1$ a $n$ piedras. Así, Alberto primero remueve $1$ piedra; entonces, Beatriz puede remover $1$ o $2$ piedras, como ella desee; entonces, Alberto puede remover de $1$ a $3$ piedras, y así sucesivamente. El jugador que remueve la última piedra en la mesa pierde, y el otro gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia para ganar sin importar los movimientos del otro jugador?

Sean $a_1,a_2,a_3,\ldots$ y $b_1,b_2,b_3,\ldots$ enteros positivos tales que $a_{n+2} = a_n + a_{n+1}$ y $b_{n+2} = b_n + b_{n+1}$ para todo $n \ge 1$ . Asuma que $a_n$ divide a $b_n$ para infinitamente muchos valores de $n$ . Demuestre que existe un entero $c$ tal que $b_n = c a_n$ para todo $n \ge 1$.