Sea $ABCD$ un cuadrado, y sean $E$ y $F$ puntos en $AB$ y $BC$ respectivamente tales que $BE=BF$ . En el triángulo $EBC$ , sea N el pie de la altura relativa a $EC$ . Sea $G$ la intersección entre $AD$ y la extensión de la altura mencionada anteriormente. $FG$ y $EC$ se intersecan en el punto $P$ , y las líneas $NF$ y $DC$ se intersecan en el punto $T$ . Demuestra que la línea $DP$ es perpendicular a la línea $BT$ .

Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ . Demuestra que $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd$ .

Considera un triángulo $ABC$ con $1 < \frac{AB}{AC} < \frac{3}{2}$. Sean $M$ y $N$, respectivamente, puntos variables de los lados $AB$ y $AC$, diferentes de $A$, tales que $\frac{MB}{AC} - \frac{NC}{AB} = 1$. Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $AMN$ pasa por un punto fijo diferente de $A$.

$A$ y $B$ juegan por turnos alternados en un tablero de $2012 \times 2013$ con suficientes piezas de los siguientes tipos:\nTipo $1$: Pieza como Tipo $2$ pero con un cuadrado a la derecha del cuadrado inferior.\nTipo $2$: Pieza de $2$ cuadrados consecutivos, uno sobre otro.\nTipo $3$: Pieza de $1$ cuadrado.\nEn su turno, $A$ debe colocar una pieza del tipo $1$ en los cuadrados disponibles del tablero.\n$B$, en su turno, debe colocar exactamente una pieza de cada tipo en los cuadrados disponibles del tablero.\nEl jugador que no pueda hacer más movimientos pierde.\nSi $A$ comienza a jugar, decide quién tiene una estrategia ganadora.\nNota: Las piezas pueden rotarse pero no pueden superponerse; no pueden estar fuera del tablero.\nLas piezas de los tipos $1$, $2$ y $3$ se pueden colocar en exactamente $3$, $2$ y $1$ cuadrados del tablero respectivamente.

Encuentra el mayor entero positivo $n$, menor que $2012$, que tiene la siguiente propiedad: Si $p$ es un divisor primo de $n$, entonces $p^2 - 1$ es un divisor de $n$.

Demuestra que no existen enteros positivos $a$, $b$, $c$ y $d$, coprimos por pares, tales que $ab+cd$, $ac+bd$ y $ad+bc$ sean divisores impares del número $(a+b-c-d)(a-b+c-d)(a-b-c+d)$.

En un cuadrado $ABCD$, sea $P$ un punto en el lado $CD$, diferente de $C$ y $D$. En el triángulo $ABP$, se dibujan las alturas $AQ$ y $BR$, y sea $S$ el punto de intersección de las líneas $CQ$ y $DR$. Demuestra que $\angle ASB=90$.

Alrededor de una circunferencia se escriben $2012$ números, cada uno de los cuales es igual a $1$ o $-1$. Si no hay $10$ números consecutivos que sumen $0$, encuentra todos los valores posibles de la suma de los $2012$ números.

El siguiente problema está abierto en el sentido de que actualmente no se conoce ninguna solución para la parte (b). Sea $n\geq 2$ un entero, y $P_n$ sea un polígono regular con $n^2-n+1$ vértices. Decimos que $n$ es $\emph{tenso}$ si es posible elegir $n$ de los vértices de $P_n$ tales que las distancias por pares entre los vértices elegidos son todas distintas. (a) demuestre que si $n-1$ es primo entonces $n$ es tenso. (b) ¿Qué enteros $n\geq 2$ son tensos?

Un gato está tratando de atrapar a un ratón en el cuadrante no negativo $N=\{(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2: x_1,x_2\geq 0\}$. En el momento $t=0$ el gato está en $(1,1)$ y el ratón está en $(0,0)$. El gato se mueve con velocidad $\sqrt{2}$ tal que la posición $c(t)=(c_1(t),c_2(t))$ es continua y diferenciable excepto en un número finito de puntos; mientras que el ratón se mueve con velocidad $1$ tal que su posición $m(t)=(m_1(t),m_2(t))$ también es continua y diferenciable excepto en un número finito de puntos. Por lo tanto $c(0)=(1,1)$ y $m(0)=(0,0)$; $c(t)$ y $m(t)$ son funciones continuas de $t$ tales que $c(t),m(t)\in N$ para todo $t\geq 0$; las derivadas $c'(t)=(c'_1(t),c'_2(t))$ y $m'(t)=(m'_1(t),m'_2(t))$ existen cada una para todo menos finitamente muchos $t$ y $(c'_1(t)^2+(c'_2(t))^2=2 \qquad (m'_1(t)^2+(m'_2(t))^2=1,$ siempre que exista la derivada respectiva. En cada momento $t$ el gato conoce tanto la posición $m(t)$ como la velocidad $m'(t)$ del ratón. Demuestre que, no importa cómo se mueva el ratón, el gato puede atraparlo en el tiempo $t=1$; es decir, demuestre que el gato puede moverse de tal manera que $c(\tau)=m(\tau)$ para algún $\tau\in[0,1]$.