Encuentre los valores del parámetro $u$ para los cuales la expresión \[y = \frac{ \tan(x-u) + \tan(x) + \tan(x+u)}{ \tan(x-u)\tan(x)\tan(x+u)}\] no depende de $x.$

¿Qué polígono regular se puede obtener (y cómo) cortando un cubo con un plano?

Sea $ABCD$ un tetraedro regular. A un punto arbitrario $M$ en una arista, digamos $CD$, corresponde el punto $P = P(M)$ que es la intersección de dos líneas $AH$ y $BK$, trazadas desde $A$ ortogonalmente a $BM$ y desde $B$ ortogonalmente a $AM$. ¿Cuál es el lugar geométrico de $P$ cuando $M$ varía?

Tres discos de diámetro $d$ están tocando una esfera en sus centros. Además, cada disco toca los otros dos discos. ¿Cómo elegir el radio $R$ de la esfera para que el eje de toda la figura tenga un ángulo de $60^\circ$ con la línea que conecta el centro de la esfera con el punto de los discos que está a la mayor distancia del eje? (El eje de la figura es la línea que tiene la propiedad de que la rotación de la figura de $120^\circ$ alrededor de esa línea lleva la figura a la posición inicial. Los discos están todos en un lado del plano, pasando por el centro de la esfera y ortogonal al eje).

En una reunión deportiva se entregaron un total de $m$ medallas durante $n$ días. El primer día se entregó una medalla y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes. El segundo día se entregaron dos medallas y $\frac{1}{7}$ de las medallas restantes, y así sucesivamente. El último día, se entregaron las $n$ medallas restantes. ¿Cuántos días duró la reunión, y cuál fue el número total de medallas?

Demostrar que para un par arbitrario de vectores $f$ y $g$ en el espacio la desigualdad \[af^2 + bfg +cg^2 \geq 0\] se cumple si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: \[a \geq 0, \quad c \geq 0, \quad 4ac \geq b^2.\]

Sean $k_1$ y $k_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ y radio igual a $r$ tal que $O_1O_2 = r$. Sean $A$ y $B$ dos puntos que se encuentran en el círculo $k_1$ y son simétricos entre sí con respecto a la línea $O_1O_2$. Sea $P$ un punto arbitrario en $k_2$. Demostrar que \[PA^2 + PB^2 \geq 2r^2.\]

Sin usar tablas, encontrar el valor exacto del producto: \[P = \prod^7_{k=1} \cos \left(\frac{k \pi}{15} \right).\]

En el espacio se dan $n \geq 3$ puntos. Cada par de puntos determina alguna distancia. Suponga que todas las distancias son diferentes. Conecte cada punto con el punto más cercano. Demuestre que es imposible obtener una línea poligonal (cerrada) de tal manera.

Los $n$ puntos $P_1,P_2, \ldots, P_n$ se colocan dentro o en el límite de un disco de radio 1 de tal manera que la distancia mínima $D_n$ entre dos de estos puntos tiene su mayor valor posible $D_n$. Calcule $D_n$ para $n = 2$ a 7 y justifique su respuesta.