Si $x$ es un número racional positivo, demuestre que $x$ se puede expresar de forma única en la forma $x = \sum^n_{k=1} \frac{a_k}{k!}$ donde $a_1, a_2, \ldots$ son enteros, $0 \leq a_n \leq n - 1$, para $n > 1,$ y la serie termina. Demuestre que $x$ se puede expresar como la suma de recíprocos de diferentes enteros, cada uno de los cuales es mayor que $10^6.$

Sean $k,m,n$ números naturales tales que $m+k+1$ es un primo mayor que $n+1$. Sea $c_s=s(s+1)$. Demuestre que \[(c_{m+1}-c_k)(c_{m+2}-c_k)\ldots(c_{m+n}-c_k)\] es divisible por el producto $c_1c_2\ldots c_n$.

Demostrar la siguiente afirmación: Si $r_1$ y $r_2$ son números reales cuyo cociente es irracional, entonces cualquier número real $x$ puede ser aproximado arbitrariamente bien por los números de la forma $\ z_{k_1,k_2} = k_1r_1 + k_2r_2$ enteros, es decir, para cada número $x$ y cada número real positivo $p$ se pueden encontrar dos enteros $k_1$ y $k_2$ de modo que $|x - (k_1r_1 + k_2r_2)| < p$ se cumple.

Suponga que $\tan \alpha = \dfrac{p}{q}$ , donde $p$ y $q$ son enteros y $q \neq 0$ . Demostrar que el número $\tan \beta$ para el cual $\tan {2 \beta} = \tan {3 \alpha}$ es racional solo cuando $p^2 + q^2$ es el cuadrado de un entero.

¿Qué fracciones $ \dfrac{p}{q},$ donde $p,q$ son enteros positivos $< 100$ , están más cerca de $\sqrt{2} ?$ Encontrar todos los dígitos después del punto en la representación decimal de esa fracción que coinciden con los dígitos en la representación decimal de $\sqrt{2}$ (sin usar ninguna tabla).

Determinar si entre todos los cuadriláteros, cuyos interiores se encuentran dentro de un semicírculo de radio $r$, existe uno (o más) con área máxima. Si es así, determinar su forma y área.

Dado un segmento $AB$ de longitud 1, define el conjunto $M$ de puntos de la siguiente manera: contiene dos puntos $A,B,$ y también todos los puntos obtenidos de $A,B$ iterando la siguiente regla: Con cada par de puntos $X,Y$ el conjunto $M$ contiene también el punto $Z$ del segmento $XY$ para el cual $YZ = 3XZ$.

Sea $n$ un entero positivo. Encuentra el número máximo de triángulos no congruentes cuyas longitudes de los lados son enteros $\leq n$.

El cuadrado $ABCD$ tiene que ser descompuesto en $n$ triángulos (que no se superpongan) y que tengan todos los ángulos agudos. Encuentra el entero $n$ más pequeño para el cual existe una solución de ese problema y para tal $n$ construye al menos una descomposición. Responde si es posible pedir además que (al menos) uno de estos triángulos tenga el perímetro menor que un número positivo dado arbitrariamente.

Dado un círculo $k$ y su diámetro $AB$. Encuentra el lugar geométrico de los centros de los círculos inscritos en los triángulos que tienen un vértice en $AB$ y otros dos vértices en $k$.